Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 09.09.2010 | | Autor: | Krypto |
| Aufgabe | Sei [mm] K:=\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}). [/mm] Zeigen Sie:
(i) [mm] X^3-5 [/mm] hat drei Nullstellen in K.
(ii) [mm] [K:\IQ]\le12.
[/mm]
(iii) Die Körpererweiterung [mm] K/\IQ [/mm] ist galoisisch.
und
(iv) Bestimmen Sie die Galoisgruppe [mm] Gal(K/\IQ).
[/mm]
(v) Sei [mm] \alpha=\wurzel{2}+i\wurzel{3}. [/mm] Bestimmen Sie das Minimalpolynom [mm] f_{\alpha}\in\IQ[x] [/mm] von [mm] \alpha. [/mm] |
Hallöchen,
habe einige Problem mit dieser Aufgabe.
zu (v):
[mm] \alpha^0=1
[/mm]
[mm] \alpha^1=\wurzel{2}+i\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \alpha^2=-1+2i\wurzel{6}
[/mm]
[mm] \alpha^3=-7\wurzel{2}+3i\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \alpha^4=-23-4i\wurzel{6}
[/mm]
Daher weiß ich, dass [mm] \alpha^4+2\alpha^2=-25 [/mm] und damit, dass [mm] f_{\alpha}(x)=x^4+x^2+25 [/mm] ist.
Stimmt das so? Kann man das auch besser lösen?
zu (i):
Es gilt [mm] X^3-5=(X-5^{1/3})(X-5^{1/3}\zeta_1)(X-5^{1/3}\zeta_2) [/mm] mit [mm] \zeta_{1/2}=\bruch{-1\pm i\wurzel{3}}{2}. [/mm]
Ich weiß nicht, wie ich das genau zeigen soll, ist das nicht offensichtlich?
zu (ii):
Da weiß ich nicht so recht, wie das gehen soll. Wahrscheinlich irgendwas mit der Gradformel, aber ich bekomme das nicht richtig hin.
Meine Idee war zuerst
[mm] [K:\IQ]=[K:\IQ(\wurzel(2),i\wurzel(3))][\IQ(\wurzel(2),i\wurzel(3)):\IQ]=[K:\IQ(\wurzel(2),i\wurzel(3))][\IQ(\wurzel(2),i\wurzel(3)):\IQ(\wurzel(2))][\IQ(\wurzel(2)):\IQ],
[/mm]
aber gilt auch
[mm] [K:\IQ]=[K:\IQ(\wurzel(2))][\IQ(\wurzel(2)):\IQ]?
[/mm]
Ich bin wirklich verwirrt.
Wir rechne ich denn dann weiter? Mit den Minimalpolynomen?
zu (iii):
Also, eine Galoiserweiterung ist ja algebraisch, normal und separabel.
Um zu gucken, ob sie algebraisch ist, msste ich doch überprüfen, dass [mm] 5^{1/3},\wurzel(2) [/mm] und [mm] i\wurzel{3} [/mm] algebraisch über K sind, oder?
Die gilt, da es die Polynome [mm] X^3-5, X^2-2, x^2+3 [/mm] gibt. (Das sind die Minimalpolynome, oder? Ist das immer so?)
Normal ist sie, da alle diese Poylnome in Linearfaktoren zerfallen und separabel, da sie nur einfache Nullstellen haben. Stimmt das?
zu (iv):
Mit dieser Aufgabe komme ich gar nicht klar. Ich muss ja irgendwie die Körperautomorphismen ausrechnen, aber das habe ich so gar nicht verstanden.
Viele Grüße und schonmal danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]K:=\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}).[/mm] Zeigen Sie:
> (i) [mm]X^3-5[/mm] hat drei Nullstellen in K.
> (ii) [mm][K:\IQ]\le12.[/mm]
> (iii) Die Körpererweiterung [mm]K/\IQ[/mm] ist galoisisch.
> und
> (iv) Bestimmen Sie die Galoisgruppe [mm]Gal(K/\IQ).[/mm]
> (v) Sei [mm]\alpha=\wurzel{2}+i\wurzel{3}.[/mm] Bestimmen Sie das
> Minimalpolynom [mm]f_{\alpha}\in\IQ[x][/mm] von [mm]\alpha.[/mm]
> Hallöchen,
> habe einige Problem mit dieser Aufgabe.
> zu (v):
> [mm]\alpha^0=1[/mm]
> [mm]\alpha^1=\wurzel{2}+i\wurzel{3}[/mm]
> [mm]\alpha^2=-1+2i\wurzel{6}[/mm]
> [mm]\alpha^3=-7\wurzel{2}+3i\wurzel{3}[/mm]
> [mm]\alpha^4=-23-4i\wurzel{6}[/mm]
> Daher weiß ich, dass [mm]\alpha^4+2\alpha^2=-25[/mm] und damit,
> dass [mm]f_{\alpha}(x)=x^4+x^2+25[/mm] ist.
> Stimmt das so? Kann man das auch besser lösen?
ja sieht richtig aus.
> zu (i):
> Es gilt
> [mm]X^3-5=(X-5^{1/3})(X-5^{1/3}\zeta_1)(X-5^{1/3}\zeta_2)[/mm] mit
> [mm]\zeta_{1/2}=\bruch{-1\pm i\wurzel{3}}{2}.[/mm]
> Ich weiß nicht, wie ich das genau zeigen soll, ist das
> nicht offensichtlich?
> zu (ii):
> Da weiß ich nicht so recht, wie das gehen soll.
> Wahrscheinlich irgendwas mit der Gradformel, aber ich
> bekomme das nicht richtig hin.
> zu (iii):
> Also, eine Galoiserweiterung ist ja algebraisch, normal
> und separabel.
> Um zu gucken, ob sie algebraisch ist, msste ich doch
> überprüfen, dass [mm]5^{1/3},\wurzel(2)[/mm] und [mm]i\wurzel{3}[/mm]
> algebraisch über K sind, oder?
> Die gilt, da es die Polynome [mm]X^3-5, X^2-2, x^2+3[/mm] gibt.
> (Das sind die Minimalpolynome, oder? Ist das immer so?)
> Normal ist sie, da alle diese Poylnome in Linearfaktoren
> zerfallen und separabel, da sie nur einfache Nullstellen
> haben. Stimmt das?
ja
> zu (iv):
> Mit dieser Aufgabe komme ich gar nicht klar. Ich muss ja
> irgendwie die Körperautomorphismen ausrechnen, aber das
> habe ich so gar nicht verstanden.
Musst Du nicht ausrechnen.
zu (i)
ja die gibst du ja richtig an unten und liegen auch in K.
zu (ii)
Ein Polynom 3ten grades hat hoechsten S3 als Galoisgruppe.
zu (v)
komme ich auf
[mm]f_{\alpha}(x)=x^4+26x^2+1[/mm]
Allgemein sind die Nullstellen von [mm]x^3-p[/mm]
=
[mm] (x-\wurzel(p))(x-\wurzel(p)(\zeta))(x-\wurzel(p)(\zeta^2))[/mm]
Die Gal[K/Q] ist entweder S3 oder A3.
also Grad 6 oder 3.
Was genau heisst normale Koerpererweiterung?
Was genau ist denn ein Galoisgruppe? und was macht sie?
Ty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Krypto |
Hallo,
vielen Dank erstmal. Auch wenn ich, um ehrlich zu sein, jetzt noch verwirrter bin.
Ich meinte bei (i) übrigens: [mm] f_{\alpha}(x)=x^4+2x^2+25. [/mm] Ich hab' das nochmal nachgerechnet und bin auch wieder drauf gekommen.
zu (ii):
Das berechne ich doch mit der Gradformel, oder? Mein Problem ist, dass ich 3 Elemente habe und das einfach nicht hinbekomme. Meine Idee war:
$ [mm] [\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ]=[\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3})][\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3}):\IQ]=[\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3})][\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3}):\IQ(\wurzel{2})][\IQ(\wurzel{2}):\IQ] [/mm] $
So hatte ich mir das eigentlich überlegt, aber ich weiß zum einen nicht, ob das stimmt und zum anderen nicht, wie ich dann auf die Grade komme. Wohl durch die Minimalpolynome, aber warum denn dann [mm] \le?
[/mm]
zu (iv)
Ich hatte es eigentlich so verstanden, dass ich den Grad der Körpererweiterung berechnen muss und damit die Ordnung der Galoisgruppe erhalte. Warum in dem Fall denn S3 und A3? Was hat denn das eigentlich mit dem Polynom zu tun? Daraufhin wollte ich eigentlich die Automorphismen bestimmen und dadurch auf die Ordnung der Elemente kommen, um eine der Gruppen ausschließen zu können. Offensichtlich macht man das nicht so? Ich scheine wirklich total auf dem Schlauch zu stehen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> vielen Dank erstmal. Auch wenn ich, um ehrlich zu sein,
> jetzt noch verwirrter bin.
>
> Ich meinte bei (i) übrigens: [mm]f_{\alpha}(x)=x^4+2x^2+25.[/mm]
Du meinst (v), oder? Dein [mm] $f_\alpha$ [/mm] stimmt zumindest. Wenn man [mm] $\alpha$ [/mm] in das Polynom von juerfgen einsetzt, kommt $-48 + 48 i [mm] \sqrt{6}$ [/mm] heraus.
> zu (ii):
> Das berechne ich doch mit der Gradformel, oder? Mein
> Problem ist, dass ich 3 Elemente habe und das einfach nicht
> hinbekomme. Meine Idee war:
>
> [mm][\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ]=[\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3})][\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3}):\IQ]=[\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3},5^{1/3}):\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3})][\IQ(\wurzel{2},i\wurzel{3}):\IQ(\wurzel{2})][\IQ(\wurzel{2}):\IQ][/mm]
Ja, so geht das.
> So hatte ich mir das eigentlich überlegt, aber ich weiß
> zum einen nicht, ob das stimmt und zum anderen nicht, wie
> ich dann auf die Grade komme. Wohl durch die
> Minimalpolynome, aber warum denn dann [mm]\le?[/mm]
Nun, [mm] $[\IQ(\sqrt{2} [/mm] : [mm] \IQ]$ [/mm] kannst du noch leicht bestimmen, aber das Minimalpolynom von $i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] und das von [mm] $\sqrt[3]{5}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt{2}, [/mm] i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] ist schon muehsamer. Am einfachsten geht es, wenn du die Minimalpolyonme ueber [mm] $\IQ$ [/mm] bestimmst: das Minimalpolynom ueber einer Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] hat Grad hoechstens gleich dem Grad des Minimalpolynoms ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Daher kommt das [mm] "$\le$". [/mm] (Genauer bekommst du Teilbarkeit! Damit ist der Grad nicht nur [mm] $\le12$, [/mm] sondern ein Teiler von 12 -- und somit gleich 12, 6, 4, 3, 2, 1$ -- und da die Minimalpolynome von [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt[3]{5}$ [/mm] jeweils Grad 2 bzw. 3 haben, muss der Koerpergrad $[K : [mm] \IQ]$ [/mm] durch 2 und 3 teilbar sein, also mindestens 6 sein -- damit bleiben $[K : [mm] \IQ] \in \{ 6 ,12 \}$. [/mm] Da aber [mm] $\sqrt{2}, \sqrt[3]{5} \in \IR$ [/mm] sind, muss der Koerper durch hinzufuegen von $i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] echt groesser werden, also Grad 12 ueber [mm] $\IQ$ [/mm] haben.)
> zu (iv)
> Ich hatte es eigentlich so verstanden, dass ich den Grad
> der Körpererweiterung berechnen muss und damit die Ordnung
> der Galoisgruppe erhalte. Warum in dem Fall denn S3 und A3?
> Was hat denn das eigentlich mit dem Polynom zu tun?
Ich glaube, juerfgen hat sich auf das Polynom bei (v) bezogen.
> Daraufhin wollte ich eigentlich die Automorphismen
> bestimmen und dadurch auf die Ordnung der Elemente kommen,
> um eine der Gruppen ausschließen zu können.
> Offensichtlich macht man das nicht so? Ich scheine wirklich
> total auf dem Schlauch zu stehen.
Wie oben argumentiert ist der Grad gleich 12, womit du 12 Elemente hast.
Du kannst nun mit der Galoiserweiterung [mm] $\IQ(\sqrt{2}, [/mm] i [mm] \sqrt{3}) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] argumentieren, dass die Gruppe dort [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] sein muss. Diese Gruppe ist ein Quotient der Galoisgruppe von $K$ ueber [mm] $\IQ$, [/mm] womit [mm] $Gal(K/\IQ)$ [/mm] schonmal nicht zyklisch sein kann.
Jetzt bleiben im wesentlichen zwei Moeglichkeiten: [mm] $A_4$ [/mm] und [mm] $\IZ/6\IZ \times \IZ/2\IZ$. [/mm] (Dazu muss man sich etwas genauer die anderen Kandidaten anschauen.)
Wenn du zeigst, dass die Gruppe kommutativ ist oder eben nicht, bist du also fertig.
Du brauchst die Gruppe also nicht explizit zu bestimmen, ein paar Elemente (oder gleich alle, das ist nicht so schwer) waeren aber nicht schlecht 
LG Felix
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