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| Aufgabe | | Bestimme die Galoisgruppe zu f(x) = [mm] (x^2-2)(x^2-3) \in \IQ [/mm] [x]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir folgende Lösung überlegt und hätte gerne Meinungen dazu, ob das so ausreicht...
L = [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] ist Zerfällungskörper von f.
In L ist f(x) = [mm] (x-\wuzel{2})(x+\wurzel{2})(x-\wuzel{3})(x+\wurzel{3}).
[/mm]
Zu bestimmen: [mm] Aut(L|\IQ) [/mm] = Aut L
Sei [mm] \alpha \in [/mm] Aut L.
[mm] \alpha [/mm] ist durch [mm] \alpha(\wurzel{2}) [/mm] und [mm] \alpha(\wurzel{3}) [/mm] eindeutig bestimmt.
Es ist [mm] \alpha(2) [/mm] = 2 = [mm] (\wurzel{2})^2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ( [mm] (\wurzel{2})^2) [/mm] = [mm] [\alpha(\wurzel{2})]^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pm \wurzel{2} [/mm] = [mm] \alpha(\wurzel{2})
[/mm]
ebenso folgt [mm] \pm \wurzel{3} [/mm] = [mm] \alpha(\wurzel{3}).
[/mm]
Damit hat man folgende Kandidaten für Aut L:
[mm] \alpha: [/mm] [mm] \alpha(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] \alpha(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \beta: [/mm] [mm] \beta(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] -\wurzel{2} [/mm] ; [mm] \beta(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \gamma: [/mm] [mm] \gamma(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] \gamma(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \delta: [/mm] [mm] \delta(\wurzel{2}) [/mm] = [mm] -\wurzel{2} [/mm] ; [mm] \delta(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
Dabei ist
[mm] \gamma [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] \beta^2 [/mm] = 1 und
[mm] \delta \equiv \alpha \beta.
[/mm]
Damit bleiben: Aut L = [mm] \{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 22.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Leonore,
es ist jedenfalls alles richtig, was dasteht. Ob's reicht, weiß ja meistens nur der Tutor, hängt auch ein bißchen vom Stand der Vorlesung ab.
Ich sach mal: Ja.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Aufgabe | | Warum genau sind die anderen Permutationen nicht in [mm] Aut(L|\IQ)? [/mm] |
Bei uns wurde die Galoisgruppe wie folgt definiert:
Aut (L|K) = [mm] \{\alpha \in Aut L | \alpha_{|K} = id_{k} \}
[/mm]
Jetzt frage ich mich, warum ich dann nicht [mm] \wurzel{2} [/mm] auf [mm] \wurzel{3} [/mm] abbilden darf usw....
Kann ja nicht sein, denn dann wäre immer Aut (L|K) = [mm] S_{n}, [/mm] aber warum?
Ich denke, das ist auch der Punkt, der in meiner Lösung fehlt - zu begründen, warum es nur die 4 Automorphismen sind in der Gruppe, und nicht mehr ;-(
Ich brauche dies für eine mündliche Prüfung, daher ist auch kein Tutor da, der mir was sagt :-(
Vielen Dank für eine Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 22.11.2006 | | Autor: | statler |
Deswegen:
Es ist [mm] \alpha(2) [/mm] = 2 = [mm] (\wurzel{2})^2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ( [mm] (\wurzel{2})^2) [/mm] = [mm] [\alpha(\wurzel{2})]^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \pm \wurzel{2} [/mm] = [mm] \alpha(\wurzel{2}) [/mm]
ebenso folgt [mm] \pm \wurzel{3} [/mm] = [mm] \alpha(\wurzel{3}). [/mm]
Ich mach jetzt Feierabend und gehe gleich offline.
Ciao
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Fr 24.11.2006 | | Autor: | bookrunner |
Tja, da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen 
Danke!
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