matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperGaloisgruppe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Galoisgruppe
Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Galoisgruppe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 23.01.2014
Autor: Topologe

Aufgabe
Sei [mm] K=\IQ(\wurzel[3]{5}). [/mm]
Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm] \IQ. [/mm]

Hallo,

könnte man das in etwa so beantworten?

Minimalpolynom von [mm] \alpha=\wurzel[3]{5} [/mm] ist  m(x) = [mm] x^{3}-5, [/mm] da normiert und es gilt [mm] m(\alpha)=0 [/mm] und irreduzibel nach Eisenstein mit p=5

Also [mm] G=\{id\} [/mm]

Der Automorphismus [mm] \varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5} [/mm] kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des Minimalpolynoms ist.

Wäre das so in etwa ok?

LG,
Topologe

        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Do 23.01.2014
Autor: hippias


> Sei [mm]K=\IQ(\wurzel[3]{5}).[/mm]
>  Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm]\IQ.[/mm]
>  Hallo,
>
> könnte man das in etwa so beantworten?
>  
> Minimalpolynom von [mm]\alpha=\wurzel[3]{5}[/mm] ist  m(x) =
> [mm]x^{3}-5,[/mm] da normiert und es gilt [mm]m(\alpha)=0[/mm] und
> irreduzibel nach Eisenstein mit p=5
>  
> Also [mm]G=\{id\}[/mm]

Verstehe ich nicht: Aus der Irreduzibilitaet folgt doch nicht, dass [mm] $G=\{id\}$; [/mm] eigentlich besagt das gar nichts ueber $G$.

>  
> Der Automorphismus [mm]\varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5}[/mm]
> kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des
> Minimalpolynoms ist.

Damit waere gezeigt, dass es keinen Automorphismus gibt, der [mm] $\wurzel[3]{5}$ [/mm] auf [mm] $-\wurzel[3]{5}$ [/mm] abbildet.

Richtig ist ja, das Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden muessen. Um das richtig anzuwenden solltest Du Dir ersteinmal ueberlegen, welche Nullstellen $m$ hat (z.B. in [mm] $\IC$). [/mm] Dann kannst Du Dein Argument anwenden.

>  
> Wäre das so in etwa ok?
>  
> LG,
>  Topologe


Bezug
                
Bezug
Galoisgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 24.01.2014
Autor: Topologe

Hey, danke für die Antwort!

Ok, die Nullstellen von [mm] m(x)=x^{3}-5 [/mm] sind: [mm] \wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}. [/mm]

Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden, dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder das die Abbildung von einer Nullstelle [mm] \alpha [/mm] auf [mm] -\alpha [/mm] abgebildet werden muss. Ist dem so?
Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf Nullstellen abgebildet?

LG,
Topologe

Bezug
                        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Sa 25.01.2014
Autor: hippias


> Hey, danke für die Antwort!
>  
> Ok, die Nullstellen von [mm]m(x)=x^{3}-5[/mm] sind: [mm]\wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}.[/mm]
>  
> Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden,
> dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder
> das die Abbildung von einer Nullstelle [mm]\alpha[/mm] auf [mm]-\alpha[/mm]
> abgebildet werden muss. Ist dem so?
>  Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf
> Nullstellen abgebildet?

Mache Dir klar: Sei $E/K$ eine Koerpererweiterung und [mm] $\alpha\in [/mm] E$. Ist $f$ eine Polynom ueber $K$ mit [mm] $f(\alpha)=0$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] ein $K$-Automorphismus von $E$, so gilt auch [mm] $f(\alpha^{\sigma})=0$. [/mm]

>  
> LG,
>  Topologe


Bezug
                                
Bezug
Galoisgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 So 26.01.2014
Autor: Topologe

Hm,

also wäre der Automorphismus folgender?

Alle Elemente des Körpers [mm] \IQ [/mm] werden festgehalten. Und die Nullstellen des Polynoms [mm] x^{3}-5 [/mm] permutieren. Also 3! verschiedene Automorphismen?

LG,
Topologe

Bezug
                                        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 So 26.01.2014
Autor: hippias


> Hm,
>  
> also wäre der Automorphismus folgender?

Diese Frage verstehe ich nicht.

>  
> Alle Elemente des Körpers [mm]\IQ[/mm] werden festgehalten. Und die
> Nullstellen des Polynoms [mm]x^{3}-5[/mm] permutieren.

Ja, das ist es im wesentlichen was ein  solcher Koerperautomorphismus macht.

> Also 3!
> verschiedene Automorphismen?

Nein, nicht jede Permutation induziert einen Koerperautomorphismus. Warum ist z.B. die Abbildung mit [mm] $\sqrt[3]{5}\mapsto \zeta \sqrt[3]{5}$ ($\zeta$ [/mm] $3$-te Einheitswurzel) kein Automorphismus von [mm] $\IQ[\sqrt[3]{5}]$? [/mm]

>  
> LG,
>  Topologe


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]