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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Di 01.07.2014 | | Autor: | stuart |
| Aufgabe | Sei P = [mm] X^3 [/mm] + X + 1 ∈ F2[X].
1. Zeigen Sie, dass P irreduzibel ist.
2. Sei K = F2[X]/(P). Bestimmen Sie |K| die Anzahl der Elemente in K .
3. Beschreiben Sie alle Elemente f ∈ Gal(K/F2) |
Guten Abend,
Ich hänge im Moment bei der 2. , aber ich weiß nicht genau wie ich vorgehen muss. Muss ich eine Menge finden, die zwischen P und F2[X] liegt?
Vielen Dank :).
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Hallo,
ist dir denn klar was $ [mm] \mathbb F_2[X]/(P) [/mm] $ bedeutet?
Bestimme die Dimension von K als $ [mm] \mathbb F_2$-Vektorraum. [/mm]
Alternativ kannst du auch K direkt hinschreiben, ist nicht sonderlich groß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 01.07.2014 | | Autor: | stuart |
Nein ist mir nicht ganz klar. Alle die P teilt?
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Das da:
https://matheraum.de/read?t=1022875
Quotientenbildung ist eines der wichtigsten Konzepte der Algebra und sehr wesentlich im Kontext der Körpererweiterungen. Es wäre daher eine gute Idee sich damit nochmal genauer auseinander zu setzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 04.07.2014 | | Autor: | stuart |
Guten Tag,
K müsste 8 Elemente enthalten. Nämlich alle Polynome in [mm] \IF_{2} [/mm] vom Grad echt kleiner 3.
Also:
- 0
- 1
- x
- x+1
- [mm] x^2
[/mm]
- [mm] x^2+x
[/mm]
- [mm] x^2+x+1
[/mm]
- [mm] x^2+1
[/mm]
Ich weiß jetzt aber nicht, welche Auotmorphismen in [mm] Gal(K/\IF_{2}) [/mm] liegen.
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> Guten Tag,
> K müsste 8 Elemente enthalten.
Dies ist richtig.
> Nämlich alle Polynome in
das ist halb-richtig. Es sind Äquivalenzklassen von Polynomen. z.B. gilt
$x [mm] \equiv x^3+2x+1 \mod x^3+x+1$
[/mm]
> [mm]\IF_{2}[/mm] vom Grad echt kleiner 3.
> Also:
> - 0
> - 1
> - x
> - x+1
> - [mm]x^2[/mm]
> - [mm]x^2+x[/mm]
> - [mm]x^2+x+1[/mm]
> - [mm]x^2+1[/mm]
>
> Ich weiß jetzt aber nicht, welche Auotmorphismen in
> [mm]Gal(K/\IF_{2})[/mm] liegen.
Kannst du angeben wie viele Automorph. die Galoisgruppe (höchstens) enthält?
Kannst du Automorph. von K angeben?
Schon mal was vom Frobeniushomomorphismus gehört?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 06.07.2014 | | Autor: | stuart |
Die Anzahl kann ich leider nicht angeben.
Hast du einen Tipp für mich?
Ich habe mir gerade den Frobeniushomomorphismus mal angesehen, aber ich weiß leider nicht wie er mir hier weiter helfen kann.
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> Die Anzahl kann ich leider nicht angeben.
Es gibt ein relativ zentrales Lemma von Artin, dass [mm] $|Aut_K(L)| \leq [/mm] [K:L]$ (ersteres sind die L-Automorphismen, die K festlassen) zeigt. Daher sind auch die Galoiserweiterungen so speziell, das sind gerade die, bei denen hier Gleichheit gilt.
> Hast du einen Tipp für mich?
> Ich habe mir gerade den Frobeniushomomorphismus mal
> angesehen, aber ich weiß leider nicht wie er mir hier
> weiter helfen kann.
Vielleicht zeigen, dass er in der Galoisgruppe liegt? Dann ist ja nur noch ein Automorphismus zu finden.
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