GW von sin(x)/x gegen 0 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \lim_{x\uparrow 0}\frac{\sin x}{x} [/mm] |
Hi,
ich denke, dass ihr schon oft diesen Grenzwert vor euch liegen hattet, aber leider scheitere ich momentan daran. Ich habe versucht, das [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] für Konvergenz "von rechts" zu nutzen, also
[mm] $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|\le\dots\le x-0<\delta*\dots=\epsilon$
[/mm]
durch geeignete Abschätzungen zu erreichen, aber das gelingt mir nicht.
Vielen Dank für Hilfe,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Siehe mal hier; da habe ich mal eine geometrische Lösung dargestellt.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank für die Lösung, Loddar, aber das Problem ist wohl, dass der Tangens bei uns noch nicht eingeführt wurde und Sinus und Cosinus über Potenzreihen definiert wurden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Mit bekannter Potenzreihe für den Sinus ist man doch schnell am Ziel:
[mm] $$\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{x^1}{1!}-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}\pm ...}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{x}-\bruch{x^3}{6*x}+\bruch{x^5}{120*x}-\bruch{x^7}{5040*x}\pm [/mm] ... \ = \ [mm] 1-\bruch{x^2}{6}+\bruch{x^4}{120}-\bruch{x^6}{5040}\pm [/mm] ...$$
Nun die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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Ich hoffe, dass das nicht als Pünktchenbeweis durchgeht ;) aber trotzdem, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 03.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hoffe, dass das nicht als Pünktchenbeweis durchgeht ;)
Wenn Ihr schon hattet, dass die Summenfunktion einer Potenzreihe stetig ist, so ist Loddars Vorschlag kein Pünktchenbeweis !!
FRED
> aber trotzdem, danke!
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