GS erstellen bei gg.Lösung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 So 13.02.2005 | | Autor: | Tha |
Hallo!
Ich sollte ein lineares GS erstellen Ax=b mit zwei Gleichungen und vier Unbekannten, welches
x= [mm] \vektor{1\\ 0\\0\\4} [/mm] + t [mm] \vektor{3\\ 1\\0\\2} [/mm] + [mm] u\vektor{1\\ 0\\2\\0}
[/mm]
als allgemeine Lösung besitzt.
Leider habe ich gar keinen Plan :(. Vielleicht kennt jmd. Beispiele im Netz, oder kann mir beispielhaft diese Aufgabe vorrechen!
Danke
Tha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 13.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tha!
> Hallo!
> Ich sollte ein lineares GS erstellen Ax=b mit zwei
> Gleichungen und vier Unbekannten, welches
>
> x= [mm]\vektor{1\\ 0\\0\\4}[/mm] + t [mm]\vektor{3\\ 1\\0\\2}[/mm] + [mm]u\vektor{1\\ 0\\2\\0}[/mm]
>
> als allgemeine Lösung besitzt.
>
> Leider habe ich gar keinen Plan :(. Vielleicht kennt jmd.
> Beispiele im Netz, oder kann mir beispielhaft diese Aufgabe
> vorrechen!
Wir schreiben zunächst die Gleichungen hin, die sich aus obiger Darstellung ergeben (beachte: [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$):
[/mm]
(I) [mm]x_1=1+3t+u[/mm]
(II) [mm]x_2=t[/mm]
(III) [mm]x_3=2u[/mm]
(IV) [mm]x_4=4+2t[/mm]
Nun eliminieren wir die Variablen $t$ und $u$:
Wegen (II) gilt [mm] $t=x_2$. [/mm] Das liefert dann:
(I') [mm] $x_1=1+3x_2+u$
[/mm]
(III')=(III) [mm] $x_3=2u$
[/mm]
(IV') [mm] $x_4=4+2x_2$
[/mm]
(III) liefert [mm] $u=\frac{x_3}{2}$. [/mm] Damit erhalten wir:
(I'') [mm] $x_1=1+3x_2+\frac{1}{2}x_3$
[/mm]
(IV'')=(IV') [mm] $x_4=4+2x_2$
[/mm]
Dein gesuchtes Gleichungssystem ist also (nach ein paar kleinen Umformungen):
(1) [mm] $x_1-3x_2-\frac{1}{2}x_3+0*x_4=1$
[/mm]
(2) [mm] $0*x_1+2*x_2+0*x_3-x_4=-4$
[/mm]
Das liefert dann:
[mm]\begin{pmatrix}1&&-3&&-\frac{1}{2}&&0\\0&&2&&0&&-1\end{pmatrix}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{1\\-4}[/mm]
PS: Ich verlasse mich darauf, dass du alles nachrechnest! 
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 So 13.02.2005 | | Autor: | Tha |
Hallo!
Vielen Dank.
War doch relativ einfach, hätte eigentlich mit ein bisschen Mühe selber drauf kommen sollen!
Vielen Dank nochmals
Tha
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