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| Aufgabe | Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
[m]Ax = b[/m] mit [m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix}, \, b := \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}[/m]
a) Lösen Sie das obige System mit dem Gauss-Algorithmus exakt.
b) Prüfen Sie mit dem Zeilensummenkriterium, ob das Gesamtschrittverfahren für das obige System konvergiert.
Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor [m] x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m] einen Schritt mit diesem Verfahren und schätzen Sie den Fehler mit der a-priori Formel in der Maximumnorm ab.
Vergleichen Sie mit dem wahren Fehler (bzgl. exakter Lösung siehe a)) und erklären Sie, wie realistisch (und warum) die Abschätzung in diesem Fall ist. |
Hallo zusammen.
Ich habe hier mit dem Gauß-Algorithmus die exakte Lösung berechnet.
Hier der exakte Lösungsvektor [m]\vec x[/m] für das obige System: [m]\bar x = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/m]
So, jetzt gehts in die Numerik...
Ich prüfe, ob das Zeilensummenkriterium erfüllt ist:
[m]\summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| < \left| a_{ii} \right| [/m] für alle [m]i = 1,...,n[/m]
Das trifft bei der obigen Matrix A zu:
[m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix} \, \Rightarrow \summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| = \left\{\begin{matrix} 3 & \mbox{i = 1} \\ 5 & \mbox{i = 2} \\ 9 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right. \; < \; \left\{\begin{matrix} 4 & \mbox{i = 1} \\ 8 & \mbox{i = 2} \\ 18 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right.[/m]
Damit ist die Matrix A diagonaldominant und die Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens, Einzelschrittverfahrensist garantiert.
Zunächst zerlege ich die Matrix [m]A[/m] in D (Diagonalmatrix), L (linksuntere Dreiecksmatrix), R (rechtsobere Dreiecksmatrix) stelle ich die Iterationsvorschrift auf...
Zerlegung der Matrix A: [m] D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}, \; L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \; R = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/m]
Iterationsvorschrift Gesamtschrittverfahren: [m]D * x^{n+1} = - (L + R) * x^{n} + b[/m]
Jetzt fange ich die Näherungsvektoren (in diesem Fall nur einen Schritt) zu berechnen, beginnend mit dem o.g. Startvektor, [m]x^{(0)} = (1 \ 2 \ 3)^{T} [/m]
Für [m]n=0[/m] habe ich: [m]\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & -18 \end{pmatrix} * x^{1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 4 & 0 & 1 \\ -8 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}[/m]
Für [m]x^{(1)}[/m] gilt dann:
[m]4x_1^{(1)} = 21 \gdw x_1^{(1)} = 5.25[/m]
[m]8x_2^{(1)} = 9 \gdw x_2^{(1)} = 1.125[/m]
[m]-18x_3^{(1)} = -3 \gdw x_3^{(1)} = \bruch{1}{6}[/m]
Also: [m] x^{(1)} = \begin{pmatrix} -5.25 \\ 1.125 \\ \bruch{1}{6} \end{pmatrix}[/m]
Was auffällt ist, dass die erste Komponente des ersten iterierten Näherungsvektors [mm] (x_1{(1)} [/mm] = 5.25) ziemlich nahe an der ersten Komponente des exakten Lösungsvektors liegt. Bei den anderen beiden Komponenten [mm] (x_2^{(1)}, x_3^{(1)}) [/mm] kann man das leider nicht behaupten!
Im Anschluss soll der Fehler mit der a-priori Formel in der Maximumnorm abgeschätzt werden.
Bei dem Bruch in der Formel kann ich leider nicht sowohl im Zähler und Nenner nach der Norm das [m]\infty[/m] Zeichen, deswegen habe ich es weggelassen, damit ihr Bescheid weißt...
[m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert \gdw \left\Vert x^{1} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} * 4.25 \le 12.75[/m]
Um zu sagen, wie realistisch die durchgeführte Abschätzung war, wird der wahre Fehler von [mm] x_{(1)} [/mm] berechnet.
[m]\left\Vert x^{(1)} - \bar x \right\Vert_{\infty} = max \left\{ 0.25, 1.875, 1.8\bar3 \right\} = 1.875[/m]
Der wahre Fehler ist ca. 7-mal kleiner als die Abschätzung.... also scheint die a-priori Abschätzung nicht gerade realisitisch zu sein.
Woran liegt das genau?
Vielen Dank für einen Tipp!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 05.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
>
> [m]Ax = b[/m] mit [m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix}, \, b := \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}[/m]
>
> a) Lösen Sie das obige System mit dem Gauss-Algorithmus
> exakt.
>
> b) Prüfen Sie mit dem Zeilensummenkriterium, ob das
> Gesamtschrittverfahren für das obige System konvergiert.
> Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor [m]x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
> einen Schritt mit diesem Verfahren und schätzen Sie den
> Fehler mit der a-priori Formel in der Maximumnorm ab.
> Vergleichen Sie mit dem wahren Fehler (bzgl. exakter
> Lösung siehe a)) und erklären Sie, wie realistisch (und
> warum) die Abschätzung in diesem Fall ist.
> Hallo zusammen.
> Ich habe hier mit dem Gauß-Algorithmus die exakte Lösung
> berechnet.
> Hier der exakte Lösungsvektor [m]\vec x[/m] für das obige
> System: [m]\bar x = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/m]
Richtig.
> So, jetzt gehts in die Numerik...
> Ich prüfe, ob das Zeilensummenkriterium erfüllt ist:
> [m]\summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| < \left| a_{ii} \right|[/m]
> für alle [m]i = 1,...,n[/m]
>
> Das trifft bei der obigen Matrix A zu:
>
> [m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix} \, \Rightarrow \summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| = \left\{\begin{matrix} 3 & \mbox{i = 1} \\ 5 & \mbox{i = 2} \\ 9 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right. \; < \; \left\{\begin{matrix} 4 & \mbox{i = 1} \\ 8 & \mbox{i = 2} \\ 18 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right.[/m]
>
> Damit ist die Matrix A diagonaldominant und die Konvergenz
> des Gesamtschrittverfahrens, Einzelschrittverfahrensist
> garantiert.
Richtig.
> Zunächst zerlege ich die Matrix [m]A[/m] in D (Diagonalmatrix), L
> (linksuntere Dreiecksmatrix), R (rechtsobere
> Dreiecksmatrix) stelle ich die Iterationsvorschrift auf...
>
> Zerlegung der Matrix A: [m]D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}, \; L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \; R = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/m]
Bei der Diagonalmatrix [mm] $D\$ [/mm] hast du einen Tippfehler, aber das
spielt keine Rolle, denn weiter unten ist es richtig.
> Iterationsvorschrift Gesamtschrittverfahren: [m]D * x^{n+1} = - (L + R) * x^{n} + b[/m]
>
> Jetzt fange ich die Näherungsvektoren (in diesem Fall nur
> einen Schritt) zu berechnen, beginnend mit dem o.g.
> Startvektor, [m]x^{(0)} = (1 \ 2 \ 3)^{T}[/m]
>
> Für [m]n=0[/m] habe ich: [m]\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & -18 \end{pmatrix} * x^{1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 4 & 0 & 1 \\ -8 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}[/m]
>
> Für [m]x^{(1)}[/m] gilt dann:
>
> [m]4x_1^{(1)} = 21 \gdw x_1^{(1)} = 5.25[/m]
>
> [m]8x_2^{(1)} = 9 \gdw x_2^{(1)} = 1.125[/m]
>
> [m]-18x_3^{(1)} = -3 \gdw x_3^{(1)} = \bruch{1}{6}[/m]
>
> Also: [m]x^{(1)} = \begin{pmatrix} -5.25 \\ 1.125 \\ \bruch{1}{6} \end{pmatrix}[/m]
Auch hier hast du bei deiner ersten Komponenten einen Vor-
zeichenfehler, obwohl du es oben richtig ausgerechnet hast,
aber auch hier hast du es weiter unten richtig.
Dir sollte dennoch bewusst sein, dass dein Vorgang nicht
effizient ist. Normalerweise berechnet man beim Gesamt-
schrittverfahren zunächst die Iterationsmatrix
[mm] S=-D^{-1}(L+R)
[/mm]
und führt dann iterativ folgendes durch:
[mm] x^{(n+1)}=Sx^{(n)}+D^{-1}b [/mm] für [mm] n\in\{0,1,\ldots\}.
[/mm]
Ich hoffe, du erkennst den gewaltigen Vorteil!
> Was auffällt ist, dass die erste Komponente des ersten
> iterierten Näherungsvektors [mm](x_1{(1)}[/mm] = 5.25) ziemlich
> nahe an der ersten Komponente des exakten Lösungsvektors
> liegt. Bei den anderen beiden Komponenten [mm](x_2^{(1)}, x_3^{(1)})[/mm]
> kann man das leider nicht behaupten!
>
> Im Anschluss soll der Fehler mit der a-priori Formel in der
> Maximumnorm abgeschätzt werden.
> Bei dem Bruch in der Formel kann ich leider nicht sowohl
> im Zähler und Nenner nach der Norm das [m]\infty[/m] Zeichen,
> deswegen habe ich es weggelassen, damit ihr Bescheid
> weißt...
>
> [m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert \gdw \left\Vert x^{1} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} * 4.25 \le 12.75[/m]
Wieder ein Tippfehler. Du meinst:
[m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert \gdw \left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} * 4.25 \le 12.75[/m].
Am Ende kannst du übrigens ein Gleichheitszeichen benutzen.
Wie kommst du auf die Lipschitz-Konstante [mm] B=0.75\in[0,1)?
[/mm]
Das würde mich echt interessieren!
> Um zu sagen, wie realistisch die durchgeführte
> Abschätzung war, wird der wahre Fehler von [mm]x_{(1)}[/mm]
> berechnet.
>
> [m]\left\Vert x^{(1)} - \bar x \right\Vert_{\infty} = max \left\{ 0.25, 1.875, 1.8\bar3 \right\} = 1.875[/m]
Richtig.
> Der wahre Fehler ist ca. 7-mal kleiner als die
> Abschätzung.... also scheint die a-priori Abschätzung
> nicht gerade realisitisch zu sein.
> Woran liegt das genau?
A-priori heißt "von vornherein", aber zur Veranschaulichung
berechne dazu A-posteriori ("im nachhinein").
> Vielen Dank für einen Tipp!
Gruß
DieAcht
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> Hallo,
>
>
> > Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
> >
> > [m]Ax = b[/m] mit [m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix}, \, b := \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}[/m]
>
> >
> > a) Lösen Sie das obige System mit dem Gauss-Algorithmus
> > exakt.
> >
> > b) Prüfen Sie mit dem Zeilensummenkriterium, ob das
> > Gesamtschrittverfahren für das obige System konvergiert.
> > Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor [m]x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]
> > einen Schritt mit diesem Verfahren und schätzen Sie den
> > Fehler mit der a-priori Formel in der Maximumnorm ab.
> > Vergleichen Sie mit dem wahren Fehler (bzgl. exakter
> > Lösung siehe a)) und erklären Sie, wie realistisch (und
> > warum) die Abschätzung in diesem Fall ist.
> > Hallo zusammen.
> > Ich habe hier mit dem Gauß-Algorithmus die exakte
> Lösung
> > berechnet.
> > Hier der exakte Lösungsvektor [m]\vec x[/m] für das obige
> > System: [m]\bar x = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}[/m]
>
> Richtig.
>
> > So, jetzt gehts in die Numerik...
> > Ich prüfe, ob das Zeilensummenkriterium erfüllt ist:
> > [m]\summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| < \left| a_{ii} \right|[/m]
> > für alle [m]i = 1,...,n[/m]
> >
> > Das trifft bei der obigen Matrix A zu:
> >
> > [m]A := \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -4 & 8 & -1 \\ 8 & 1 & -18 \end{pmatrix} \, \Rightarrow \summe_{i=1, j \not= i}^{3} \left| a_{ij} \right| = \left\{\begin{matrix} 3 & \mbox{i = 1} \\ 5 & \mbox{i = 2} \\ 9 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right. \; < \; \left\{\begin{matrix} 4 & \mbox{i = 1} \\ 8 & \mbox{i = 2} \\ 18 & \mbox{i = 3} \end{matrix}\right.[/m]
> >
> > Damit ist die Matrix A diagonaldominant und die Konvergenz
> > des Gesamtschrittverfahrens, Einzelschrittverfahrensist
> > garantiert.
>
> Richtig.
>
> > Zunächst zerlege ich die Matrix [m]A[/m] in D (Diagonalmatrix), L
> > (linksuntere Dreiecksmatrix), R (rechtsobere
> > Dreiecksmatrix) stelle ich die Iterationsvorschrift auf...
> >
> > Zerlegung der Matrix A: [m]D = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}, \; L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \; R = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> Bei der Diagonalmatrix [mm]D\[/mm] hast du einen Tippfehler, aber
> das
> spielt keine Rolle, denn weiter unten ist es richtig.
Ja, hier habe ich mich tatsächlich vertippt.
> > Iterationsvorschrift Gesamtschrittverfahren: [m]D * x^{n+1} = - (L + R) * x^{n} + b[/m]
>
> >
> > Jetzt fange ich die Näherungsvektoren (in diesem Fall nur
> > einen Schritt) zu berechnen, beginnend mit dem o.g.
> > Startvektor, [m]x^{(0)} = (1 \ 2 \ 3)^{T}[/m]
> >
> > Für [m]n=0[/m] habe ich: [m]\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & -18 \end{pmatrix} * x^{1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 4 & 0 & 1 \\ -8 & 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}[/m]
>
> >
> > Für [m]x^{(1)}[/m] gilt dann:
> >
> > [m]4x_1^{(1)} = 21 \gdw x_1^{(1)} = 5.25[/m]
> >
> > [m]8x_2^{(1)} = 9 \gdw x_2^{(1)} = 1.125[/m]
> >
> > [m]-18x_3^{(1)} = -3 \gdw x_3^{(1)} = \bruch{1}{6}[/m]
> >
> > Also: [m]x^{(1)} = \begin{pmatrix} -5.25 \\ 1.125 \\ \bruch{1}{6} \end{pmatrix}[/m]
>
> Auch hier hast du bei deiner ersten Komponenten einen Vor-
> zeichenfehler, obwohl du es oben richtig ausgerechnet
> hast,
> aber auch hier hast du es weiter unten richtig.
>
> Dir sollte dennoch bewusst sein, dass dein Vorgang nicht
> effizient ist. Normalerweise berechnet man beim Gesamt-
> schrittverfahren zunächst die Iterationsmatrix
>
> [mm]S=-D^{-1}(L+R)[/mm]
>
> und führt dann iterativ folgendes durch:
>
> [mm]x^{(n+1)}=Sx^{(n)}+D^{-1}b[/mm] für [mm]n\in\{0,1,\ldots\}.[/mm]
>
> Ich hoffe, du erkennst den gewaltigen Vorteil!
Ich habe mich hier nur an die Formel gehalten, welche uns in der Vorlesung gegeben wurde.
Alternativ kann man ja auch als Iterationsvorschrift für das GSV folgendes schreiben, so wie Du es auch schon gemacht hast.
[m]x^{(n+1)} = -D^{-1} (L+R) x^{(n)} + D^{-1}b[/m]
Wir sollen aber grundsätzlich nicht mit Inversen rechnen und man wird hier viel mit Brüchen rechnen müssen (es wird alles schriftlich gemacht).
> > Was auffällt ist, dass die erste Komponente des ersten
> > iterierten Näherungsvektors [mm](x_1{(1)}[/mm] = 5.25) ziemlich
> > nahe an der ersten Komponente des exakten Lösungsvektors
> > liegt. Bei den anderen beiden Komponenten [mm](x_2^{(1)}, x_3^{(1)})[/mm]
> > kann man das leider nicht behaupten!
> >
> > Im Anschluss soll der Fehler mit der a-priori Formel in der
> > Maximumnorm abgeschätzt werden.
> > Bei dem Bruch in der Formel kann ich leider nicht
> sowohl
> > im Zähler und Nenner nach der Norm das [m]\infty[/m] Zeichen,
> > deswegen habe ich es weggelassen, damit ihr Bescheid
> > weißt...
> >
> > [m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert \gdw \left\Vert x^{1} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} * 4.25 \le 12.75[/m]
>
> Wieder ein Tippfehler. Du meinst:
>
> [m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert \gdw \left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} * 4.25 \le 12.75[/m].
>
> Am Ende kannst du übrigens ein Gleichheitszeichen
> benutzen.
>
> Wie kommst du auf die Lipschitz-Konstante [mm]B=0.75\in[0,1)?[/mm]
> Das würde mich echt interessieren!
Ok, aber ich habe doch für [m]n[/m] auf der linken Seite lediglich die [m]1[/m] eingesetzt, so wie ich es auf der rechte Seite gemacht habe.
Dazwischen kann man auch ein Gleichzeitszeichen setzen oder muss es ein Äquivalenzzeichen sein? Schau dazu hier... ich habe jetzt Deine Version genommen (mit [m]^{n}[/m] auf der linken Seite der Ungleichung)
[m]\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} {1 - \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert = \left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} \cdot{} 4.25 \le 12.75[/m]
Zur Lipschitz-Konstante: [m]\left\Vert B \right\Vert_{\infty} = \left\Vert D^{-1}(L+R) \right\Vert_{\infty} = max \; i = 1,...,n \ \summe_{j=1, j\not=i}^{n} \bruch{a_{ij}}{a_{ii}} [/m]
> > Um zu sagen, wie realistisch die durchgeführte
> > Abschätzung war, wird der wahre Fehler von [mm]x_{(1)}[/mm]
> > berechnet.
> >
> > [m]\left\Vert x^{(1)} - \bar x \right\Vert_{\infty} = max \left\{ 0.25, 1.875, 1.8\bar3 \right\} = 1.875[/m]
>
> Richtig.
Man könnte hierzu auch wirklicher Fehler sagen?
> > Der wahre Fehler ist ca. 7-mal kleiner als die
> > Abschätzung.... also scheint die a-priori Abschätzung
> > nicht gerade realisitisch zu sein.
> > Woran liegt das genau?
>
> A-priori heißt "von vornherein", aber zur
> Veranschaulichung
> berechne dazu A-posteriori ("im nachhinein").
Allgemein: Was geben mir die a-priori und a-posteriori Abschätzungen konkret an?
a-priori abschätzungen werden vor der Rechnung durchgeführt und mal erhält eine "allgemeine" Fehlerschranke?
Da diese jedoch für die jeweilige Rechnung zu ungenau sein können, verwendet man a-posteriori Abschätzungen?
Diese werden nach der Rechnung durchgeführt und geben den Fehler für die Rechnung genau an.
Nach mehreren Iterationsschritten kann man die a-posteriori Abschätzung machen, die ist genauer als die a-priori abschätzung,
die man vor dem ersten Schritt schon machen kann... dazu muss man aber logischerweise bereits mehrere Schritte gerechnet haben?
Normalerweise braucht man für a-priori doch vorher keinen Iterationsschritt gerechnet zu haben.
Laut Formel aber schon, bspw. [m]\left\Vert x^{(1)} - x^{(0)}[/m] ... also einen Schritt mit dem Startvektor durchgerechnet bzw. Startvektor [mm] x^{(0)} [/mm] in die o.g. Formel eingesetzt.... In diesem Fall wurde aber nur einen Schritt gerechnet... also müsste man noch ein paar Schritte rechnen, um die a-posteriori Abschätzung machen kann?
Geben mir die Abschätzungen eine allgemeine Fehlerschranke zwischen zwei iterierten Vektoren an?
Also wie groß der max. Fehler bzw. die Abweichung des Näherungswertes vom exakten Wert ist (daher auch die max. Norm, also max. Komponente)?
> > Vielen Dank für einen Tipp!
>
>
> Gruß
> DieAcht
Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 06.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe mich hier nur an die Formel gehalten, welche uns
> in der Vorlesung gegeben wurde.
> Alternativ kann man ja auch als Iterationsvorschrift für
> das GSV folgendes schreiben, so wie Du es auch schon
> gemacht hast.
>
> [m]x^{(n+1)} = -D^{-1} (L+R) x^{(n)} + D^{-1}b[/m]
>
> Wir sollen aber grundsätzlich nicht mit Inversen rechnen
> und man wird hier viel mit Brüchen rechnen müssen (es
> wird alles schriftlich gemacht).
Die Diagonalmatrix [mm] $D\$ [/mm] enthält in der Regel keine Einträge
gleich Null, sodass wir direkt [mm] D^{-1} [/mm] angeben können mit
[mm] D^{-1}=\diag(d^{-1}_1,\ldots,d^{-1}_n).
[/mm]
> Man könnte hierzu auch wirklicher Fehler sagen?
Nein, der wirkliche bzw. exakte "Fehler" nach dem ersten
Iterationsschritt ist gegeben durch
[mm] |x^{(1)}-\tilde{x}|.
[/mm]
Bei Betrachtung von
[mm] \|x^{(1)}-\tilde{x}\|_{\infty}
[/mm]
kommt quasi nur der größte Fehler raus, denn wir betrachten
alle Differenzen und ziehen uns das Maximum.
> $ [mm] \left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{\left\Vert B^{n} \right\Vert} [/mm] {1 - [mm] \left\Vert B \right\Vert} \left\Vert x^{(1)} - x^{(0)} \right\Vert [/mm] = [mm] \left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le \bruch{0.75^{1}}{1 - 0.75} \cdot{} [/mm] 4.25 [mm] \le [/mm] 12.75 $
Das macht keinen Sinn. Dort steht sinngemäß:
[mm] $x\le [/mm] y=x$.
Richtig:
[mm] $\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert \le\bruch{0.75^{n}}{1 - 0.75} \cdot{} [/mm] 4.25$.
Mit einer Iteration erhalten wir
[mm] $\left\Vert x^{n} - \bar x \right\Vert\le [/mm] 12.75$.
Mehr Schritte -> Exakteres Ergebnis.
Das mit A-Priori und A-Posteriori hast du verstanden.
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