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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:55 So 22.10.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Geben Sie alle Paramter a [mm] \in [/mm] R an,für die das GSV zur Lösung von
[mm] \pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & a } [/mm] x = b bei beliebigem Startwert konvergiert. |
Guten Morgen!
ich denke ich hab den anfang der aufgabe hinbekommen, nur zum schluss bei der abschätzung mit a bin ich mir nicht sihcer.
Also ich hab zuerst A zerlegt in A = - L + D - R.
N ist ja dann als D definiert und P=L+R.
die Iterationsmatrix ist H = [mm] N^{-1} [/mm] * P = [mm] \pmat{ 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & -0 \\ 0 & 0 & 1/a } [/mm] * P = [mm] \pmat{0& 1/4 & 0 \\ 1/4& 0 & 1/4 \\ 0 & 1/a& 0} [/mm]
für das charakteristische Poly von H hab ich nun raus:
p(x) = x [mm] (x^2- [/mm] 1/16x - 1/(4a) x) = 0, d.h. x= 0
oder [mm] x^2 [/mm] = 1/16 + 1/(4a) also [mm] x=\pm \sqrt{1/16 + 1/(4a)}
[/mm]
soweit müsste es stimmen, oder?
und um die a's rauszubekommen, für die es konvergiert,muss ich ja schauen, wann der spektralradius kleiner 1 ist, und daran häng ich!
|x| [mm] =\sqrt{1/16 + 1/(4a)} [/mm] < 1
[mm] \frac{a+4}{16} [/mm] <1
a+4 < 16 a
4< 15a d.h. a> [mm] \frac{4}{15} [/mm] - aber nur wenn a > 0 ist, sonst dreht sich ja das zeichen um, und man bekommt
a < [mm] \frac{4}{15}
[/mm]
außerdem, kann man sagen, dass das unter der wurzel positiv sein muss?
d.h. a [mm] \leq [/mm] -4.
ich mein für die kompl zahlen mahct eine solche ungleichung keinen sinn, oder müsste man dann den "anderen" betrag nehmen?
wenn das alles so richtig wäre, könnte man dann sagen, GSV konvergiert für [mm] a>\frac{4}{15} [/mm] und für a [mm] \leq [/mm] -4 ???
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Ich hab jetzt nicht nachgerechnet aber eine Anmerkung:
> |x| [mm]=\sqrt{1/16 + 1/(4a)}[/mm] < 1
Der Eigenwert x kann durchaus komplex sein. Der Betrag muß reell sein. Wenn Du hier eine Fallunterscheidung brauchst würde ich sagen Du hast zwischendurch die Beträge vergessen.
viele Grüße
mathemaduennn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Do 26.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
ohja, danke du hast recht, hab das mit dem komplexen nicht rcihtig bedacht...
dann is ok.
viele grüße
riley
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