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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ihr GPS-Empfangsgerät wurde beschädigt und kann die von den Satelliten empfangenen Daten nicht mehr verarbeiten. Glücklicherweise zeigt es noch die Satellitenpositionen, bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem durch den Erdmittelpunkt und die Entfernungen der Satelliten an, die aus einem Zeitsignal berechnet wurden (alle Angaben in 1000 km).
Dies sind die Angaben zu den Satelliten:
Satellit: [mm] S_{1} [/mm] Position: (1,8,0) Entfernung: [mm] \wurzel{6.5}
[/mm]
Satellit: [mm] S_{2} [/mm] Position: (2,6,5) Entfernung: [mm] \wurzel{12.5}
[/mm]
Satellit: [mm] S_{3} [/mm] Position: (4,7,0) Entfernung: [mm] \wurzel{9.5}
[/mm]
Satellit: [mm] S_{4} [/mm] Position: (2,5,6) Entfernung: [mm] \wurzel{21.5}
[/mm]
Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf, um Ihre Position in kartesischen Koordinaten aus den Daten der Satelliten zu bestimmen. Wo befinden Sie sich? |
Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Ich habe versucht ein Gleichungssystem aufzustellen, aber bekomme ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 3 Variablen, das nicht lösbar ist.
Wer kann mir bitte helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast 4 Kugeln um die Satteliten, je 2 bestimmen einen Kreis auf dem du dich befindest
schneiden sich die 2 Kreise, so hast du noch 2 mögliche Punkte.
der 4 te Sattelit entschedet dann wo du bist. Ohne deine Rechnungen kann man nicht sehen, was du falsch machst.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke für diesen Tipp.
Aber ich habe nicht ganz verstanden, wie ich jetzt vorgehen muss:
Welche Rechenschritte sind auszuführen und inwiefern handelt es sich dabei um ein lineares Gleichungssystem? |
Könntest Du es mir bitte erklären? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht da wirklich "lineares" Gleichungssystem
dann kann ich nicht helfen.
ich stell also deine Frage auf unbeantwortet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ja, da steht tatsächlich "lineares Gleichungsssystem".
Schade, aber dennoch danke für die bisherige Hilfe. |
Wer kann mir darüber hinaus helfen?
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> Ja, da steht tatsächlich "lineares Gleichungsssystem".
> Schade, aber dennoch danke.
> Kann jemand Anders helfen?
Hallo,
das Gleichungssystem besteht zunächst aus quadratischen
Gleichungen. Man kann aber durch Differenzbildung aus den
zuerst erhaltenen quadratischen Gleichungen solche erzeugen,
in denen sowohl [mm] x^2, y^2 [/mm] als auch [mm] z^2 [/mm] herausfallen. Dann hat man
lineare Gleichungen. Wenigstens eine der quadratischen
(Kugel-) Gleichungen muss man aber dann trotzdem noch ein-
setzen, um die (maximal 2) Lösungspunkte zu finden.
LG Al-Chw.
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Hallo Dennis,
"Gleichungssystem aufstellen und lösen" ist natürlich hier
der richtige Ansatz. Eine geometrische Betrachtung nebenbei
macht aber auch durchaus Sinn.
Gesucht ist quasi der gemeinsame Punkt von 4 vorgege-
benen Kugeln. Dazu gibt es zweierlei zu sagen:
1.) Im Allgemeinen gibt es zu 4 beliebig vorgegebenen
Kugeln gar keinen allen 4 Kugeln gemeinsamen
Punkt. Vier Kugeln sind also quasi zu viele. Drei würden
eigentlich genügen.
2.) Wenn drei Kugeln überhaupt einen gemeinsamen Punkt
haben, so haben sie im Normalfall auch noch einen zweiten.
Die Position eines vierten Satelliten genügt aber dann (außer
in sehr speziellen Ausnahmesituationen, die praktisch nicht
vorkommen), um aus den zwei noch möglichen rechnerischen
Lösungen die richtige auszuwählen.
Benütze also für dein Gleichungssystem zuerst nur drei
der Satellitenpositionen. Da sollten (falls die Aufgabe über-
haupt Lösungen hat) zwei mögliche Lösungstripel herauskommen.
Berechne dann die Distanz zum vierten Satelliten und
vergleiche das Ergebnis mit der Vorgabe. Kleine Abwei-
chungen sind dabei natürlich zu tolerieren.
Dass dein Gleichungssystem (mit allen 4 Satelliten) zu-
nächst unlösbar war, kann mit Rundungsfehlern zu tun
haben. Bei der realen Anwendung von GPS kann man
ohnehin nicht mit absolut exakten Distanzdaten rechnen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, ich suche mir also drei Satelliten heraus, beispielsweise die Satelliten [mm] S_{1}, S_{2} [/mm] und [mm] S_{3}.
[/mm]
Hierzu stelle ich also nun das Gleichungssystem auf bzw. ich schreibe das Ganze in einer erweiterten Matrix folgendermaßen auf:
[mm] \pmat{ 1 & 8 & 0 & \wurzel{6.5} \\ 2 & 6 & 5 & \wurzel{12.5} \\ 4 & 7 & 0 & \wurzel{9.5} }.
[/mm]
Ich habe das so in einen Onlinerechner eingegeben (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm) und erhalte folgende Matrix bzw. Lösung:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0,2724444 \\ 0 & 1 & 0 &
0,2846332 \\ 0 & 0 & 1 &
0,2565684 } [/mm] |
>
> Benütze also für dein Gleichungssystem zuerst nur drei
> der Satellitenpositionen. Da sollten (falls die Aufgabe
> über-
> haupt Lösungen hat) zwei mögliche Lösungstripel
> herauskommen.
Hiernach sind die Koordinaten des Empfängers doch aber nun eindeutig bestimmt. Wieso bekomme ich also zwei mögliche Lösungstripel?
> Berechne dann die Distanz zum vierten Satelliten und
> vergleiche das Ergebnis mit der Vorgabe.
Wie würde ich die Distanz zum vierten Satelliten ausrechnen (vorausgesetzt, ich hätte jetzt zwei Lösungstripel bekommen, hätte ich das ja tun müssen), einfach durch Einsetzen in die vierte Gleichung, die der vierte Satellit liefert?
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> Okay, ich suche mir also drei Satelliten heraus,
> beispielsweise die Satelliten [mm]S_{1}, S_{2}[/mm] und [mm]S_{3}.[/mm]
>
> Hierzu stelle ich also nun das Gleichungssystem auf bzw.
> ich schreibe das Ganze in einer erweiterten Matrix
> folgendermaßen auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 8 & 0 & \wurzel{6.5} \\ 2 & 6 & 5 & \wurzel{12.5} \\ 4 & 7 & 0 & \wurzel{9.5} }.[/mm]
>
> Ich habe das so in einen Onlinerechner eingegeben
> (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm)
> und erhalte folgende Matrix bzw. Lösung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0,2724444 \\ 0 & 1 & 0 &
0,2846332 \\ 0 & 0 & 1 &
0,2565684 }[/mm]
>
> >
> > Benütze also für dein Gleichungssystem zuerst nur drei
> > der Satellitenpositionen. Da sollten (falls die Aufgabe
> > über-
> > haupt Lösungen hat) zwei mögliche Lösungstripel
> > herauskommen.
>
> Hiernach sind die Koordinaten des Empfängers doch aber nun
> eindeutig bestimmt. Wieso bekomme ich also zwei mögliche
> Lösungstripel?
>
> > Berechne dann die Distanz zum vierten Satelliten und
> > vergleiche das Ergebnis mit der Vorgabe.
>
> Wie würde ich die Distanz zum vierten Satelliten
> ausrechnen (vorausgesetzt, ich hätte jetzt zwei
> Lösungstripel bekommen, hätte ich das ja tun müssen),
> einfach durch Einsetzen in die vierte Gleichung, die der
> vierte Satellit liefert?
>
>
Na Moooment mal,
du kannst jetzt doch nicht einfach die vorliegenden Punkt-
koordinaten und Abstände in eine Matrix reinbuttern und
glauben, dass dies dann schon Sinn macht.
Schreib dir doch zuerst mal z.B. die Gleichung klar auf,
welche besagt, dass der Beobachter (x,y,z) vom Satelliten
[mm] S_1(1,8,0) [/mm] die Distanz [mm] d_1=\sqrt{6.5} [/mm] hat !
Diese Gleichung ist nicht linear, da sie z.B. auch mit dem
Satz von Pythagoras zu tun hat.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Mal eine ganz blöde Frage:
Warum heißt es dann in der Aufgabenstellung, dass man ein lineares Gleichungssystem aufstellen soll? |
...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich denke, es handelt sich um folgende Formel?
Beispielsweise für den Satelliten [mm] S_{1}:
[/mm]
[mm] \wurzel{6.5}=\wurzel{(1-x)^2+(8-y)^2+(-z)^2} [/mm] |
Und das würde ich nun für zwei weitere Satelliten aufstellen. Geht das in die richtige Richtung?
Wie ich das dann aber löse, weiß ich momentan leider nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) quadrieren
b) die posts nachlesen
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Nun liege ich hoffentlich näher an der Lösung:
Ich wähle [mm] S_{1}, S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] und stelle folgende Gleichungen auf:
[mm] \wurzel{6,5}=\wurzel{(1-x)^2+(8-y)^2+(-z)^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{12,5}=\wurzel{(2-x)^2+(6-y)^2+(5-z)^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{9,5}=\wurzel{(4-x)^2+(7-y)^2+(-z)^2}.
[/mm]
Quadrieren und Ausmultiplizieren liefert:
[mm] 6,5=x^2-2x+y^2-16y+z^2+65
[/mm]
[mm] 12,5=x^2-4x+y^2-12y+z^2-10z+65
[/mm]
[mm] 9,5=x^2-8x+y^2-14y+z^2+65.
[/mm]
Der PC liefert zwei Lösungen:
x=1,5
y=6
z=1,5
or
x=2,22727
y=8,18182
z=2,22727.
Nun verwende ich [mm] S_{4} [/mm] für eine eindeutige Positionsbestimmung:
Einsetzen liefert:
[mm] \wurzel{21,5}=4,63681=\wurzel{(2-1,5)^2+(5-6)^2+(6-1,5)^2}=4,63681
[/mm]
sowie
[mm] \wurzel{(2-2,22727)^2+(5-8,18182)^2+(6-2,22727)^2}=4,94056\not=\wurzel{21,5}.
[/mm]
Demnach sind die gesuchten Kartesischen Koordinaten gegeben durch (1.5,6,1.5). |
Ich verstehe zwar immer noch nicht, weshalb in der Aufgabenstellung von einem "linearen Gleichungssystem" die Rede ist, denn hier handelt es sich ja um ein quadratisches und somit nicht-lineares Gleichungssystem, aber immerhin habe ich eine Lösung gefunden. Das ist ja schon ein Fortschritt!
Eventuell kann mir ja noch jemand die Frage beantworten bzw. sie wurde ja schon beantwortet, dort habe ich es aber nicht verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn dir je Klausuren bevorstehen ohne PC solltest du das GS selbst lösen können, hier insbesondere das lin. GS aufstellen!Das war ja gefragt,
Gruss leduart
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> Ich wähle [mm]S_{1}, S_{2}[/mm] und [mm]S_{3}[/mm] und stelle folgende
> Gleichungen auf:
>
> [mm]\wurzel{6,5}=\wurzel{(1-x)^2+(8-y)^2+(-z)^2}[/mm]
> [mm]\wurzel{12,5}=\wurzel{(2-x)^2+(6-y)^2+(5-z)^2}[/mm]
> [mm]\wurzel{9,5}=\wurzel{(4-x)^2+(7-y)^2+(-z)^2}.[/mm]
>
> Quadrieren und Ausmultiplizieren liefert:
>
> (1) [mm]6,5=x^2-2x+y^2-16y+z^2+65[/mm]
> (2) [mm]12,5=x^2-4x+y^2-12y+z^2-10z+65[/mm]
> (3) [mm]9,5=x^2-8x+y^2-14y+z^2+65.[/mm]
wenn du ausgehend von diesen 3 Gleichungen Differenzen-
gleichungen bildest:
(2)-(1) 6 = -2x+4y-10z
(3)-(1) 3 = .........
so bilden diese beiden Gleichungen ein lineares System (mit
[mm] \infty [/mm] vielen Lösungen) , so wird immerhin das gesamte
Gleichungssystem so weit vereinfacht, dass man es am Ende
nur noch mit einer einzigen quadratischen Gleichung für
eine einzige Unbekannte zu tun hat.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Mit anderen Worten:
Man hat dann ein Gleichungssystem, das aus zwei linearen Gleichungen und 3 Variablen besteht und daher unendlich viele Lösungen hat; anschließend benutzt man dann eine quadratische Gleichung,um eine eindeutige Lösung "herauszufiltern". Diese quadratische Gleichung ist in meiner Lösung diejenige, in die ich die erhaltenen Werte zur Probe eingesetzt habe.
Wenn diese Frage nun mit "Ja" beantwortet wird, habe ich es verstanden und die Frage kann gerne im Archiv versteckt werden, damit meine Blödheit versteckt ist. |
...
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> Mit anderen Worten:
>
> Man hat dann ein Gleichungssystem, das aus zwei linearen
> Gleichungen und 3 Variablen besteht und daher unendlich
> viele Lösungen hat;
die Lösungsmenge dieses linearen Systems ist im Normal-
fall eine Gerade im [mm] \IR^3 [/mm]
> anschließend benutzt man dann eine
> quadratische Gleichung,
(entsprechend einer Kugeloberfläche)
die Gerade und die Kugelfläche haben (maximal) zwei
gemeinsame Schnittpunkte, die man rechnerisch
bestimmen kann
> um eine eindeutige Lösung
> "herauszufiltern". Diese quadratische Gleichung ist in
> meiner Lösung diejenige, in die ich die erhaltenen Werte
> zur Probe eingesetzt habe.
um aus den allenfalls zwei Lösungen die richtige
herauszufinden, setzt man die bisher noch nicht
verwendete Gleichung (4. Satellit) ein.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Do 11.11.2010 | | Autor: | weduwe |
ich habe den verdacht, dass so ewas herauskommt, nachdem man die gleichungen "linearisiert" hat 
bleibt (für mich) die frage, warum lösung 2 stimmt, 1 aber nicht
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> ich habe den verdacht, dass so ewas herauskommt, nachdem
> man die gleichungen "linearisiert" hat
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> bleibt (für mich) die frage, warum lösung 2 stimmt, 1
> aber nicht
Bringt man die 3 Kugeln mit Zentren [mm] S_1 [/mm] , [mm] S_2 [/mm] , [mm] S_3 [/mm] (Satelliten),
welche durch den Punkt B (Beobachter) gehen, miteinander zum
Schnitt, so haben sie außer B = [mm] B_1 [/mm] noch einen zweiten Punkt [mm] B_2 [/mm] ,
der allen drei Kugeloberflächen gemeinsam ist.
(im Beispiel wäre position 2 der "richtige" Punkt B und position 1
der zweite Punkt [mm] B_2 [/mm] , der von allen 3 Satelliten gleich weit
entfernt ist wie B)
Damit kann das GPS die Position des Beobachters aus den
Distanzen zu 3 Satelliten noch nicht eindeutig ermitteln. Die
zusätzlich ermittelte Distanz zu einem 4. Satelliten [mm] S_4 [/mm] klärt
dann aber diese Zweideutigkeit auf.
Allerdings hat man aber für den alltäglichen Gebrauch des GPS
auf der Erdoberfläche noch eine andere Möglichkeit: anstatt [mm] S_4 [/mm]
nehme man einfach den Erdmittelpunkt und für den Abstand [mm] d_4 [/mm]
den mittleren Erdradius. Man nehme dann einfach jenen der zuerst
berechneten 2 Punkte, der so ungefähr passt. Da die Erde nicht
genau kugelförmig ist, muss man dabei etwas tolerant sein.
Genau dies kann man auch ![[]](/images/popup.gif) da nachlesen.
Dort steht auch, weshalb bei der GPS-Ortung tatsächlich trotz-
dem mindestens 4 Satelliten herangezogen werden müssen:
das liegt an der genauen Bestimmung einer Referenzzeit, die
eine vierte Unbekannte darstellt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Frag den Aufgabensteller!
aber wie Al schrieb, kannst du ja eins herstellen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, das ist richtig: Es wurde mir bereits erklärt.
Ich habe es aber leider nicht verstanden.
Ist es möglich, es für mich verständlicher zu machen oder sogar vorzurechnen? Ich wäre dafür sehr dankbar, denn in der Tat ist die Lösung mit dem PC hier nicht gerade sehr glücklich gewählt und kostet sicherlich einige Punkte bei der Bewertung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie wärs wenn du mal anfingst? du hast 3 Gl in allen kommt [mm] x^2, y^2,z^2 [/mm] vor.
wie wird man die los?
Gruss leduart
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