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GL(n;K): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Fr 25.06.2004
Autor: nevinpol

[hot] Notiz: [hot]

Also dies ist mein
[]vorletztes Übungsblatt, den ich am Montag morgen
abgeben muss. Ich muss in den letzten beiden Übungsblättern
alle Punkte sammeln, damit ich überhaupt die Klausur mitschreiben
kann. [verwirrt] Also deswegen bin ich jetzt hinter jedem Punkt hinterher...[anbet]


Hallo,

in meiner jetzigen Frage geht es um die Aufgabe 34 in dem
[]Übungsblatt.

Nun ich hab noch mitkriegt, dass $GL(n;K)$ eine allgemeine Gruppe ist [verwirrt]. Gibt es da eine genauere Definition?

Vielen Dank
nevinpol
        
Bezug
GL(n;K): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Fr 25.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Nevin!

Du findest

[]hier

eine Musterlösung der Aufgabe (Aufgabe 5).

Vorschlag: Arbeite die Lösung durch, schreibe sie noch einmal sauber mit eigenen Worten hier auf, wir schauen sie durch und du stellst dann Verständnisfragen dazu, okay?

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
GL(n;K): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:52 Sa 26.06.2004
Autor: nevinpol

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Stefan, :-)

also ich habe mir folgendes aufgeschrieben:

$Z(GL(n;K)) = \{ A \in GL(n;K) : AB=BA $ für alle $ B \in GL(n;K) $

Könnte ich jetzt so anfangen?

Sei $A=\lambda \cdot E$ für ein $\lambda \in K*$ und $A \in GL(n;K)$ .

Es gilt für alle Matrizen $B \in GL(n;K)$:

$(\lambda \cdot E) \cdot B \cdot (\lambda \cdot E)^{-1}$
$= (\lambda \cdot E) \cdot B \cdot (\lambda^{-1} \cdot E)$
$= \lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot E \cdot B \cdot E$
$=B$

Ich habe zwar nicht verstanden warum das gezeigt ist,
denn "etwas" mal "etwas hoch minus 1" ist doch ganz klar =1
Ich versuche trotzdem mal die Musterlösung auf
meine Aufgabe zu übertragen, vielleicht wirds mir ja
später klar ..?


Vielen Dank
nevinpol
Bezug
                        
Bezug
GL(n;K): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:27 Sa 26.06.2004
Autor: Stefan

Liebe Nevin!

> [mm]Z(GL(n;K)) = \{ A \in GL(n;K) : AB=BA[/mm] für alle [mm]B \in GL(n;K)[/mm]
>  
>
> Könnte ich jetzt so anfangen?
>  
> Sei [mm]A=\lambda \cdot E[/mm] für ein [mm]\lambda \in K*[/mm] und [mm]A \in GL(n;K)[/mm]
> .
>  
> Es gilt für alle Matrizen [mm]B \in GL(n;K)[/mm]:
>  
> [mm](\lambda \cdot E) \cdot B \cdot (\lambda \cdot E)^{-1}[/mm]
>  [mm]= (\lambda \cdot E) \cdot B \cdot (\lambda^{-1} \cdot E)[/mm]
>  
> [mm]= \lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot E \cdot B \cdot E[/mm]
>  [mm]=B[/mm]

[ok]

Damit hast du jetzt gezeigt:

[mm]Z(GL(n;K)) \supset \{\lambda \cdot E\, : \, \lambda \in \IR\} [/mm].

Jetzt musst du noch zeigen:

[mm]Z(GL(n;K)) \subset \{\lambda \cdot E\, : \, \lambda \in \IR\} [/mm].

Viel Spaß dabei!

Liebe Grüße! [gutenacht]
Stefan


Bezug
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