GL(3,2) Konjugationsklassen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $G=GL(3,2)=GL_3(\IF_2)$ [/mm] . Ist [mm] $A\in [/mm] G$ mit $ord(A)=7$, dann liegt [mm] $A^3$ [/mm] in der anderen Konjugationsklasse. |
Ich weiß |GL(3,2)|=168. (darf noch nicht verwenden, dass G einfach ist. Das ist mein Ziel)
Ich weiß auch [mm] $168=2^3*3*7$. [/mm] Damit erzeugt A eine zyklische 7-Sylow-Untergruppe. (7 ist Primzahl)
Ich weiß überhaupt nicht, wie ich auf die andere Konjugationsklasse kommen soll.
Ich habe noch 6 Konjugationsklassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]G=GL(3,2)=GL_3(\IF_2)[/mm] . Ist [mm]A\in G[/mm] mit [mm]ord(A)=7[/mm], dann liegt
> [mm]A^3[/mm] in der anderen Konjugationsklasse.
So ganz verstehe ich diese Aussage nicht. Du sprichst von "der" anderen Konjugationsklasse -- also gibt es nur genau zwei? Oder ist klar, dass es hier um zwei bestimmte geht? Da fehlt wohl etwas Kontext...
Oder soll einfach nur gezeigt werden, dass $A$ und [mm] $A^3$ [/mm] nicht in der gleichen Konjugationsklasse liegen?
Nehmen wir mal an, das waere der Fall, also $(T A [mm] T^{-1})^3 [/mm] = T [mm] A^3 T^{-1} [/mm] = A$. Dann sind allgemein [mm] $A^k$ [/mm] und [mm] $A^{3 k}$ [/mm] fuer jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] konjugiert, und daraus folgt, dass alle [mm] $A^k$ [/mm] fuer $7 [mm] \nmid [/mm] k$ in der gleichen Konjugationsklasse liegen (da 3 ein Erzeuger von [mm] $(\IZ/7\IZ)^\ast$ [/mm] ist).
Kommst du evtl. damit weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 So 05.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | G=G(3,2) . Ist [mm]A\in G[/mm] mit ord(A)=7, dann liegt [mm]A^3[/mm] in der anderen Konjugationsklasse. Daher liegen [mm]A,A^2,A^4[/mm] in der einen und [mm]A^3,A^5,A^{-1}[/mm] in der anderen Konjungationsklasse. |
Das ist der exakte Wortlaut.
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Hallo wieschoo!
> G=G(3,2) . Ist [mm]A\in G[/mm] mit ord(A)=7, dann liegt [mm]A^3[/mm] in der
> anderen Konjugationsklasse. Daher liegen [mm]A,A^2,A^4[/mm] in der
> einen und [mm]A^3,A^5,A^{-1}[/mm] in der anderen
> Konjungationsklasse.
>
> Das ist der exakte Wortlaut.
$A$ besitzt [mm] $|N_G(A):C_G(A)| [/mm] = 3$ Konjugierte in [mm] $\langle A\rangle$.
[/mm]
Mit Felix' Mitteilung (funktioniert natürlich mit allen primitiven Wurzeln modulo $7$) ist man dann schon ein ganzes Stück weiter.
> Ich habe noch 6 Konjugationsklassen.
Was meinst Du damit?
$G$ besitzt $48$ Elemente der Ordnung $7$, die in $2$ Konjugationsklassen zerfallen.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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