GLS und inverse Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Habe da ein Problem mit einer Aufgabe, wo ich nicht weiss, wie ich rangehen soll. Möchte erstmal nur Hilfestellungen, damit ich vorwärts komme!
Gegeben sind die Gleichungen:
Ax+By=a
[mm] B^{T}x+Cy=b [/mm]
mit Vektoren a,x Element [mm] R^{n} [/mm] und b,y Element [mm] R^{m}, [/mm] dazu Matrizen A,B,C
a) Von welcher Dimension müssen die Matrizen A,B,C sein, damit das Gleichungssystem sinnvoll ist?
--> Wonach muss ich schauen, um zu wissen welche Dimension die Matrizen haben müssen? Also wie erkenne ich das?
Hatte mir überlegt, dass die Matrizen quadratisch und regulär sein müssen, ist das richtig?
b) Unter Voraussetzung, dass A regulär ist, stelle man mithilfe der Inversen zu A den Vektor x in Abhängigkeit von y dar. Man ermittle hiermit ein reduziertes GLS Dy=d zur Bestimmung von y.
--> habe das ganze mal umgestellt und folgendes erhalten
(C - [mm] A^{-1}B^{T}B) [/mm] y = b - [mm] B^{T}a
[/mm]
c) gegeben sind
A= [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2}
[/mm]
B= [mm] \vektor{1\\1}
[/mm]
C=(0)
[mm] a=\vektor{-1\\1}
[/mm]
b=(0)
Wie lauten [mm] A^{-1}, [/mm] D und d?
D=- [mm] \pmat{4 & 4 \\ 2 & 2}
[/mm]
d=0
[mm] A^{-1}= \bruch{1}{3} \pmat{2&2\\1&1}
[/mm]
Wollte in dem Zusammenhang gleich noch fragen wann die Diagonalmatrix (also nur die Elemente [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{n} [/mm] der Hauptdiagonalen, der Rest 0) eine Inverse besitzt und wie diese dann lautet? Für jedes x-beliebige Beispiel ist das ja kein Thema, aber wie sieht das ganze allgemein aus?
Danke schon mal
sunshinenight
|
|
| |
|
> Habe da ein Problem mit einer Aufgabe, wo ich nicht weiss,
> wie ich rangehen soll. Möchte erstmal nur Hilfestellungen,
> damit ich vorwärts komme!
>
> Gegeben sind die Gleichungen:
> Ax+By=a
> [mm]B^{T}x+Cy=b[/mm]
> mit Vektoren a,x Element [mm]}R^{n[/mm] und b,y Element [mm]R^{m},[/mm] dazu
> Matrizen A,B,C
>
> a) Von welcher Dimension müssen die Matrizen A,B,C sein,
> damit das Gleichungssystem sinnvoll ist?
>
> --> Wonach muss ich schauen, um zu wissen welche Dimension
> die Matrizen haben müssen?
Es wird dort A mit x multipliziert. x [mm] \in \IR^n. [/mm] Man multipliziert ja "Zeile *Spalte". x hat n Komponenten, also muß auch jede Zeile von A n Komonenten enthalten. Also weiß man schonmal, daß A n Spalten haben muß, A [mm] \in \IR^{?xn}. [/mm] Das Ergebnis von Ax+By, a, ist in [mm] \IR^n, [/mm] hat also n Zeilen (wenn auch sehr kurze). Also muß A n Zeilen haben, insgesamt also A [mm] \in [/mm] A [mm] \in \IR^{nxn}.
[/mm]
Das könntest Du jetzt mal mit B versuchen. (Aufpassen, das Endergebnis muß [mm] \in \IR^n [/mm] sein)
> b) Unter Voraussetzung, dass A regulär ist, stelle man
> mithilfe der Inversen zu A den Vektor x in Abhängigkeit von
> y dar. Man ermittle hiermit ein reduziertes GLS Dy=d zur
> Bestimmung von y.
>
> --> habe das ganze mal umgestellt und folgendes erhalten
>
> (C - [mm]A^{-1}B^{T}B)[/mm] y = b - [mm]B^{T}a[/mm]
Fast. (C - [mm]B^{T}A^{-1}B)[/mm] y = b - [mm]B^{T}a[/mm].
>
> c) gegeben sind
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2}[/mm]
> B= [mm]\vektor{1\\1}[/mm]
> C=(0)
> [mm]a=\vektor{-1\\1}[/mm]
> b=(0)
>
> Wie lauten [mm]A^{-1},[/mm] D und d?
Das müßtest Du nochmal rechnen unter Berücksichtigung der neuesten Erkenntnisse.
> [mm]A^{-1}= \bruch{1}{3} \pmat{2&2\\1&1}[/mm]
Daß das nicht stimmt, siehst Du sofort, wenn Du's mit A multiplizierst.
>
> Wollte in dem Zusammenhang gleich noch fragen wann die
> Diagonalmatrix (also nur die Elemente [mm]a_{1}[/mm] bis [mm]a_{n}[/mm] der
> Hauptdiagonalen, der Rest 0) eine Inverse besitzt
Wenn keine Nullen auf der Hauptdiagonalen sind.
> und wie diese dann lautet?
Ist eine Diagonalmatrix, und auf der Hauptdiagonalen steht an jeder Stelle der Kehrwert.
Kannst Du leicht nachrechen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
zunächst schon mal danke für deine Hilfe
ok, hab das mit A erstmal verstanden, also dass die Matrix quadratisch sein muss.
Für B hab ich mir jetzt überlegt, dass diese das Format (m,n) haben kann.Das gleiche sollte dann ja für C auch gelten. Ist das so korrekt?
[mm] A^{-1} [/mm] hab ich jetzt wie folgt (hatte mich vertan beim Bestimmten über die Einheitsmatrix)
[mm] A^{-1} =\bruch{1}{6} \pmat{4 & 12\\2&9}
[/mm]
dann sollte D=(- [mm] \bruch{27}{6}) [/mm] sein
für d ändert sich ja nichts
|
|
|
| |
|
> zunächst schon mal danke für deine Hilfe
>
> ok, hab das mit A erstmal verstanden, also dass die Matrix
> quadratisch sein muss.
Nicht nur irgendwie quadratisch, sondern n x n.
> Für B hab ich mir jetzt überlegt, dass diese das Format
> (m,n) haben kann.Das gleiche sollte dann ja für C auch
> gelten. Ist das so korrekt?
Schon nahe dran. Da y m Komponenten hat, muß ja jede Zeile von B m komponenten haben. Das bedeutet: B hat m SPALTEN. Weil a n Komponenten hat, muß B n Zeilen haben. Also n x m. (Üblicherweise kommen vorn die Zeilen, dann die Spalten. Es sei denn, in Eurer Vorlesung ist das anders. Ich hatte mal so einen Prof., der mußte alles umdrehen...)
>
>
> [mm]A^{-1}[/mm] hab ich jetzt wie folgt (hatte mich vertan beim
> Bestimmten über die Einheitsmatrix)
> [mm]A^{-1} =\bruch{1}{6} \pmat{4 & 12\\2&9}[/mm]
Multiplizier dies hier doch mal mit A. Kommt die Einheitsmatrix heraus? Ich fürchte: nein...
Also, neuer Versuch... Und gleich schön selbst die Probe machen und nächstens die richtige inverse Matrix präsentieren.
Viel Erfolg,
Angela
> dann sollte D=(-
> [mm]\bruch{27}{6})[/mm] sein
> für d ändert sich ja nichts
>
>
|
|
|
| |
|
Also hab jetzt D=(-2) und das sollte ja nun stimmen, hoffe ich...
Bei B meinte ich schon die Reihenfolge (n,m) aber bei C sollte das Format ja (m,n) sein, oder nich?
danke für deine Hilfe
Sunshinenight
|
|
|
|
