GLS mit mehreren Lösungen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 Do 21.11.2013 | | Autor: | PxBx |
| Aufgabe | "Für welchen Parameter t hat das Gleichungssystem mehr als eine Lösung?"
"Für welchen Parameter t hat das Gleichungssystem eine Lösung?
x1-2x2+3x3=5
2x1-3x2+4x3=7
3x1+tx2+7x3=12 |
Hallo Leute,
Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz. Vermute, das der Ansatz wohl auf die Determinantenberechnung hinausläuft, bin mir aber leider nicht sicher, was und vorallem wie genau ich das nun berechnen soll.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo PxBx,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Man kann es wirklich mittels eine Determinantenberechnung lösen.
Aber es geht auch ohne.
Wie löst Du denn sonst ein derartiges lineares Gleichungssystem?
Das ist hier nicht anders, lass Dich nicht von dem Parameter $t_$ verwirren.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
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Stell bitte nicht beantwortete Fragen kommentarlos auf "nicht beantwortet".
Du kannst jedoch gerne Rückfragen (rotes Quadrat) stellen, wenn nicht alles klar ist.
Dabei erwarten wir, daß Du auf die gegebene Antwort eingehst.
Ich hätte jetzt beispielsweise erwartet, daß Du uns erzählst, wie Du normalerweise ein LGS löst,
und daß Du uns auch verrätst, weshalb Du Schwierigkeiten hast.
Hast Du die Determinante mal ausgerechnet?
Was weißt Du über Determinanten und LGS?
Wenn Du die Aufgabe lösen möchtest, solltest Du den Gauß-Algorithmus beherrschen.
Bringe die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform.
Das t behandle dabei, als wäre es irgendeine feste Zahl.
Paß auf, daß Du nicht versehentlich durch 0 dividierst. Dividierst Du etwa durch t-7, so mußt Du notieren [mm] t\not=7 [/mm] und den Fall t=7 anschließend gesondert untersuchen.
Für die Auswertung der ZSF ist es wichtig, daß Du weißt, was die Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix mit der Lösbarkeit zu tun haben.
So, und nun solltest Du aktiv werden.
LG Angela
> "Für welchen Parameter t hat das Gleichungssystem mehr als
> eine Lösung?"
> "Für welchen Parameter t hat das Gleichungssystem eine
> Lösung?
>
> x1-2x2+3x3=5
> 2x1-3x2+4x3=7
> 3x1+tx2+7x3=12
> Hallo Leute,
>
> Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz. Vermute, das der
> Ansatz wohl auf die Determinantenberechnung hinausläuft,
> bin mir aber leider nicht sicher, was und vorallem wie
> genau ich das nun berechnen soll.
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 22.11.2013 | | Autor: | PxBx |
Vielen Dank erstmal für eure Bemühungen :)
soweit ich weiß gibt die Determinante auskunft darüber, ob ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
Ich weiß auch das ich hierfür die Cramersche Regel verwenden muss, und wenn das Ergebnis ungleich 0 ist, dann dann ist das GLS lösbar...
nur wie wende ich das hierauf an?
woher weiß ich ob ich genau ein Ergebnis bekomme? oder mehrere?
hab jetzt mal die Determinante bestimmt, und komme auf 10-2t.
Was sagt mir das jetzt?
muss ich nun die Nebendeterminanten berechnen?
hab das mal gemacht und komme auf:
det(A1)=10
det(A2)=0
det(A3)=30
Kann ich diese Aufgabe auch auf diesem Wege lösen?
denke mein Problem ist nicht etwas zu berechnen, sondern eher zu verstehen was ich damit rechne...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Fr 22.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank erstmal für eure Bemühungen :)
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> soweit ich weiß gibt die Determinante auskunft darüber,
> ob ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
> Ich weiß auch das ich hierfür die Cramersche Regel
> verwenden muss, und wenn das Ergebnis ungleich 0 ist, dann
> dann ist das GLS lösbar...
> nur wie wende ich das hierauf an?
> woher weiß ich ob ich genau ein Ergebnis bekomme? oder
> mehrere?
>
> hab jetzt mal die Determinante bestimmt, und komme auf
> 10-2t.
> Was sagt mir das jetzt?
Das habe ich jetzt nicht kontrolliert, aber was ist, wenn die Determinante =0 sein sollte? Für welchen Wert von t passiert dieses?
Marius
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> Vielen Dank erstmal für eure Bemühungen :)
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> soweit ich weiß gibt die Determinante auskunft darüber,
> ob ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
Hallo,
ja, wenn man ein LGS aus n Gleichungen mit n Variablen hat, und wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm] \not=0 [/mm] ist, ist das LGS eindeutig lösbar.
> Ich weiß auch das ich hierfür die Cramersche Regel
> verwenden muss,
Du mußt das nicht, aber es ist eine Möglichkeit, die eine Lösung, die es im Falle [mm] det(A)\not=0 [/mm] gibt, zu bekommen.
Bei der wikipedia ist bei "Cramersche Regel" ein Beispiel vorgemacht. Damit könntest Du Dich mal beschäftigen und die Vorgehensweise dann übertragen auf Deine Aufgabe.
> hab jetzt mal die Determinante bestimmt, und komme auf
> 10-2t.
Ich komme auf det(A)=2t+10.
Am besten rechnest Du nochmal nach, kann durchaus sein, daß ich mich vertan habe.
Für alle t mit [mm] det(A)\not=0 [/mm] ist das LGS eindeutig lösbar,
und wenn Du willst, kannst Du die Lösung mit der Cramerschen Regel bestimmen.
Je nachdem, wer von uns recht hat, müßte dann der Fall t=5 bz. t=-5 gesondert untersucht werden.
Dazu ist das LGS auf Zeilenstufenform zu bringen.
Wenn Du so weit bist, können wir weiterschauen.
> Was sagt mir das jetzt?
> muss ich nun die Nebendeterminanten berechnen?
> hab das mal gemacht und komme auf:
> det(A1)=10
> det(A2)=0
> det(A3)=30
Ich weiß nicht, wo diese Zahlen herkommen.
Sie müßten ja auch von t abhängen.
Wie gesagt: schau Dir das Beispiel an.
>
> Kann ich diese Aufgabe auch auf diesem Wege lösen?
Den einen Teil: ja.
>
> denke mein Problem ist nicht etwas zu berechnen, sondern
> eher zu verstehen was ich damit rechne...
Hm.
Ehrlich gesagt finde ich es im Falle der LGS wichtig, daß man die wesentlichen Sätze der Vorlesung kennt und in der Lage ist, die notwendigen Rechenschemata anzuwenden.
Es kommt darauf an, was hinten rauskommt. Im Idealfall nicht Sch...., sondern ein richtiges Ergebnis.
Für LGS ist es unbedingt notwendig, den Gaußalgorithmus zu beherrschen,
zu wissen, wie man aus den Rängen der (erweiterten) Koeffizientenmatrix Aussagen über die Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung machen kann,
und zu guter Letzt, wie man aus der ZSF sowohl im Falle der Eindeutigkeit als auch im Falle der Mehrdeutigkeit die Lösungsmenge ablesen kann.
Weiter ist ein kein Fehler, den Zusammenhang zwischen dem Wert der Determinante und der Lösbarkeit zu kennen.
Die Cramersche Regel finde ich persönlich verzichtbar, weil sie nur im Falle der Eindeutigkeit hilft und wegen der vielen Determinanten mühsam ist - aber ich weiß, daß manche sie gern verwenden.
Wenn Du meiner Botschaft zwischen den Zeilen die Aufforderung zum Eigenstudium entnimmst, hast Du sie richtig gelesen.
Über das, was Du Dir angeeignet und gerechnet hast, können wir dann gerne wieder sprechen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 23.11.2013 | | Autor: | PxBx |
Also hab jetzt mal versucht die Tipps zu befolgen.
bleiben wir mal bitte bei der Aufgabenstellung:
"für welches t hat das GLS mehr als eine Lösung?"
habe es nun mithilfe des "Turbo-Gauß-Verfahrens" auf die Stufenform gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 =5 \\ 0 & 1 & -2 = -3 \\ 0 & 0 & 10-2t = 15-3t }
[/mm]
daraus folgt t=5
was sagt mir das jetzt?
Woher weiß ich nun, ob mein GLS für dieses t unendlich viele Lösungen hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Also hab jetzt mal versucht die Tipps zu befolgen.
> bleiben wir mal bitte bei der Aufgabenstellung:
> "für welches t hat das GLS mehr als eine Lösung?"
>
> habe es nun mithilfe des "Turbo-Gauß-Verfahrens" auf die
> Stufenform gebracht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 =5 \\ 0 & 1 & -2 = -3 \\ 0 & 0 & 10-2t = 15-3t }[/mm]
>
> daraus folgt t=5
Schauen wir mal die letzte Zeile an, diese sagz, dass es eine Variable [mm] x_{3} [/mm] gibt, so dass
[mm] $(10-2t)\cdot x_{3}=15-3t$
[/mm]
Um [mm] x_{3} [/mm] zu isolieren, müsstest du nun durch 10-2t dividieren, das darfst du aber nur, wenn [mm] 10-2t\ne5 [/mm] also wenn [mm] t\ne5
[/mm]
Für [mm] t\ne5 [/mm] ergibt sich also:
[mm] x_{3}=\frac{15-3t}{10-2t}=\frac{3}{2}
[/mm]
Für t=5 wird die Gleichung
[mm] $(10-2t)\cdot x_{3}=15-3t$
[/mm]
zu
[mm] $0\cdot x_{3}=0$
[/mm]
Und das ist eine wahre Aussage, daher hast du dann eine Lösung, bei der du [mm] x_{3} [/mm] frei wählen kannst, das fürht zu unendlich vielen Lösungen.
>
> was sagt mir das jetzt?
> Woher weiß ich nun, ob mein GLS für dieses t unendlich
> viele Lösungen hat?
Durch überprüfen des Sonderfalls.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 23.11.2013 | | Autor: | PxBx |
Danke, das hat mir schonmal sehr weitergeholfen.
Eine letzte Frage habe ich jedoch noch:
Wie überprüfe ich meine Lösung auf die zwei anderen Fälle, bzw. wie überprüft man so etwas allgemein nach "Genau einer Lösung" oder "keine Lösung"?
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> Danke, das hat mir schonmal sehr weitergeholfen.
> Eine letzte Frage habe ich jedoch noch:
>
> Wie überprüfe ich meine Lösung auf die zwei anderen
> Fälle, bzw. wie überprüft man so etwas allgemein nach
Hallo,
durch Betrachten des Ranges:
es sei (A|b) die erweiterte Koeffizientenmatrix.
- Ist Rang(A)<Rang(A|b), so ist das System nicht lösbar.
- Ist Rang(A)=Rang(A|b), so ist das System lösbar.
- Ist das System lösbar, und Rang(A)=Anzahl der Spalten, so ist das System eindeutig lösbar
- Ist das System lösbar, und Rang(A)<Anzahl der Spalten, so hat das System unendlich viele Lösungen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 24.11.2013 | | Autor: | PxBx |
und wie ist das wenn ein Parameter drin steht?
habe noch eine andere Aufgabe zur Übung gemacht, und diese bereits nach Gauss umgeformt.
komme auf die folgende Matrix:
[mm] \pmat{1 & -2 & 3 = 5 \\ 0 & 1 & -2 = -3 \\ 0 & 0 & 0 = t+2}
[/mm]
nur jetzt stellt sich wieder die Frage:
"für welchen Parameter t hat das GLS genau eine Lösung?
stimmt meine Vermutung t=-2?
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> und wie ist das wenn ein Parameter drin steht?
>
> habe noch eine andere Aufgabe zur Übung gemacht, und diese
> bereits nach Gauss umgeformt.
>
> komme auf die folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{1 & -2 & 3 = 5 \\ 0 & 1 & -2 = -3 \\ 0 & 0 & 0 = t+2}[/mm]
>
> nur jetzt stellt sich wieder die Frage:
> "für welchen Parameter t hat das GLS genau eine Lösung?
>
> stimmt meine Vermutung t=-2?
Hallo,
ich hatte Dir gesagt, unter welchen Bedingungen ein LGS lösbar ist.
Wie lautet die Bedingung?
Für welche t trifft das zu?
Ich hatte Dir gesagt, unter welcher Bedingung ein lösbares LGS genau eine Lösung hat.
Wie lautet die Bedingung?
Trifft sie zu?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 24.11.2013 | | Autor: | PxBx |
Hab es nun...
Vielen dank für eure hilfe :)
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