G-Menge, konjugiert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Di 05.01.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | H und K sind Untergruppen von G, G/H und G/K sind G-Mengen. Wenn diese isomorph sind, sind H und K zueinander konjugiert. |
Hallo. Ich krieg den Beweis einfach nicht hin.
Was ich bisher habe: G/H, G/K sind nach Voraussetzung G-Mengen, isomorph und transitiv (nach einem Satz in unserer Vorlesung). Was kann ich aus dem "isomorph" schließen? Ich vermute, es hat was mit den Standardgruppen und Konjugationsklassen zu tun. Die Standardgruppen wären: x [mm] \in [/mm] G/H, [mm] G_x=\{g \in G: gx=x\}, [/mm] y [mm] \in [/mm] G/K, [mm] G_y=\{g \in G: gy=y\}. [/mm] Konjugationsklasse von x: [mm] Gx=\{gxg^{-1}: g \in G\}. [/mm]
Kann mir jemand bei dem Beweis weiterhelfen?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 05.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo moerni,
bezeichnen wir einen Isomorphismus von G/H nach G/K mal mit [mm]\varphi[/mm]. Wenn [mm]\varphi(H)=bK[/mm] gilt, wie sieht dann [mm]\varphi(aH)[/mm] für beliebiges [mm]a\in G[/mm] aus?
Für den eigentlichen Beweis starten wir mal mit [mm]a\in H[/mm] und versuchen das durch Äquivalenzumformungen auf eine Aussage der Form [mm]a\in cKc^{-1}[/mm] für ein [mm]c\in G[/mm] zu bringen.
Wie lässt sich [mm]a\in H[/mm] mithilfe der Gleichheit zweier Elemente von G/H ausdrücken?
Da [mm]\varphi[/mm] bijektiv ist, ist die diese Gleichheit gleichbedeutend damit, dass die beiden [mm]\varphi[/mm]-Bilder gleich sind.
Wenn du bis dahin gekommen bist, probiere mal selbst, die Äquivalenzumformungen weiterzuführen. Ansonsten einfach nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
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