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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:51 Mo 28.06.2004 | | Autor: | DerAndiY |
Hallo,
gibt es eine moeglichkeit zu zeigen dass [mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \bar{A} \cap \bar{B} [/mm] auch fuer Fuzzy- Sets gilt, wenn fuer [mm] \cap [/mm] der min- und fuer [mm] \cup [/mm] der max Operator verwendet wird? Mir faellt spontan das Aufstellen weiner Tabelle auf, aber es muss doch auch anders gehen, oder?
Desweiteren ist zu zeigen dass der min-operator eine t-norm und der max-operator eine t-conorm (s-norm) ist.
Viel Spass
Andy
P.S. Wer nicht fragt bleibt dumm ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Andy!
Die von dir angesprochenen de Morganschen-Regeln für Fuzzy-Mengen werden ![[]](/images/popup.gif) hier (relativ weit unten im Text) bewiesen.
Zu deiner anderen Frage: Ich kenne mich damit zu wenig aus. Entweder du schreibst alle Definitionen, Sätze und Beweise aus deinem Skript zu diesem Thema hier auf oder du setzt einen Link auf dein Skript. Sonst können wir dir, so fürchte ich, nicht weiterhelfen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 28.06.2004 | | Autor: | DerAndiY |
Hi Julius,
danke fuer Deinen Link und sorry fuer meine unpraezise formulierung.
Ich habe als Anhang eine Definition fuer t-s-Norm mitgeschickt.
Zu beweisen ist nun, dass der min- Operator eine t-Norm und der max- Operator eine s- Norm ist. Der max- Operator liefert einfach das Maximum seiner Operanden und der min- Operator das Minimum respektive.
Cheers
Andy
Anhang:
Alternative Definitionen für Vereinigung und Durchschnitt
t-Norm und s-Norm (t-Conorm)
Min- und Max-Operator sind eine Möglichkeit, die Mengen-Verknüpfungen [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] mathematisch umzusetzen. Ganz allgemein bedient man sich zweier Abbildungsfunktionen s und t mit jeweils 2 Argumenten. Diese Funktionen (als t- und s-Norm bezeichnet) bilden den zweidimensionalen
Wertebereich von 0 bis 1 (incl.) auf das geschlossene Intervall von 0 bis 1 ab,
also gilt
s , t : [ 0 , 1 ] x [ 0 , 1 ] [mm] \rightarrow [/mm] [ 0 , 1 ] . Die t-Norm verwendet man dabei für die Berechnung der Zugehörigkeiten bei der Durchschnittsbildung,
die s-Norm (auch als t-Conorm bezeichnet) liefert den Zugehörigkeitsgrad für die Mengenvereinigung. Es gilt mithin
[mm] \mu_A\capB(x) [/mm] = t ( [mm] \mu_A(x) [/mm] , [mm] \mu_B(x) [/mm] )
[mm] \mu_A\cupB(x) [/mm] = s ( [mm] \mu_A(x) [/mm] , [mm] \mu_B(x) [/mm] ) .
Damit t und s auch für die Realisierung der Mengen-Verknüpfungen verwendet werden können, muss gelten:
s(x,y) = s(y,x) -> Kommutativ
s(x, s(y,z)) = s( s(x,y), z) -> Assoziativ
s(x,1) = s(1,x) = 1 -> spez. Operationen auf 0 und 1
s(x,0) = s(0,x) = x
x [mm] \leq [/mm] w und y [mm] \leq [/mm] z -> Monotonie
[mm] \Rightarrow [/mm] s(x,y) [mm] \leq [/mm] s(w,z)
Man kann relativ einfach nachweisen (siehe Übungen), dass min- und max-Operator t- und s-
Normen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, wenn ich das richtig sehe, musst du doch jetzt einfach für den [mm] $\max$-Operator [/mm] die folgenden Rechengesetze nachweisen:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] [0,1]$ muss gelten:
(1) [mm] $\max(x,y) [/mm] = [mm] \max(y,x)$
[/mm]
(2) [mm] $\max(x, \max(y,z)) [/mm] = [mm] \max( \max(x,y), [/mm] z)$
(3) [mm] $\max(x,1) [/mm] = [mm] \max(1,x) [/mm] = 1$
(4) [mm] $\max(x,0) [/mm] = [mm] \max(0,x) [/mm] = x$
(5) [mm] $x\leq [/mm] w$ und [mm] $y\leq [/mm] z$ [mm] $\Rightarrow$ $\max(x,y)\leq \max(w,z)$ [/mm]
Aber ist das nicht vollkommen trivial? Was gibt es denn da noch zu zeigen?
Klar, man (2) und (5) noch mit Fallunterscheidungen verifizieren.
Du hast mir ja die Axiome wie eine $s$-Norm, also eine $t$-Conorm genannt.
Mit ähnlichen Axiomen (wie lauten die genau?) für eine $t$-Norm lässt sich dann nachweisen, dass der [mm] $\min$-Operator [/mm] eine $t$-Norm ist.
Hast du denn jetzt damit noch Schwierigkeiten??
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mi 30.06.2004 | | Autor: | DerAndiY |
Hmm, Du hast wohl recht.
Ich habe mich wohl dadurch, dass ich noch nie etwas von t-Normen gehoert habe, etwas abschrecken lassen.
Trotzdem Danke
Cheers
Andy
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