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Forum "Algebra" - Funtion invertieren
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Funtion invertieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Do 17.11.2016
Autor: BAGZZlash

Ich beschäftige mich gerade mit Auktionstheorie. Im Lehrbuch steht folgendes Beispiel:

[mm]S = V + \frac{\int_{V}^{\ \infty}{((\frac{a}{u})^b)^{N-1}du}}{((\frac{a}{V})^b)^{N-1}}[/mm]

Mit etwas Algebra ergibt sich

[mm]S = V\frac{b(N-1)}{b(N-1)-1}[/mm]

Im nächsten Schritt ist [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] gesucht. Also gut, das Ergebnis zuerst invertieren und das dann ableiten:

[mm]V=S\frac{b(N-1)-1}{b(N-1)}[/mm]

[mm]\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{b(N-1)-1}{b(N-1)}[/mm]

Damit wird dann weitergearbeitet...

Gut und schön. Ich habe nun eine leicht andere Ausgangslage:

[mm]S = V - \frac{\int_{0}^{V}{1-(\frac{a}{u})^{b(N-1)} du}}{1-(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}[/mm]

Man beachte dreierlei:
1.) Es steht nach dem V ein Minus, statt einem Plus wie oben.
2.) Die Integrationsgrenzen sind anders.
3.) Im Nenner (und im Integral im Zähler) steht die Paretoverteilung, falls das nützlich ist.

Löse ich das Integral, komme ich auf

[mm]S = V \frac{b(N-1)(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}{(b(N-1)-1)((\frac{a}{V})^{b(N-1)}-1)}[/mm]

Erneut müsste nun invertiert und anschließend [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] bestimmt werden. Nur: Ist S überhaupt invertierbar? Kann S noch vereinfacht werden, so dass die [mm]\frac{a}{V}[/mm]-Ausdrücke eliminiert werden können?

        
Bezug
Funtion invertieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Do 17.11.2016
Autor: chrisno


> .....
> [mm]S = V \frac{b(N-1)(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}{(b(N-1)-1)((\frac{a}{V})^{b(N-1)}-1)}[/mm]
>  
> ....

(s.u.)

> Kann S noch vereinfacht werden, so
> dass die [mm]\frac{a}{V}[/mm]-Ausdrücke eliminiert werden können?

Die letzte Frage zuerst: Nein. Es könnte aber netter zu rechnen sein, wenn Du den Bruch mit
[mm] $V^{b(N-1)}$ [/mm] erweiterst.

> Erneut müsste nun invertiert und anschließend
> [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] bestimmt werden. Nur: Ist S
> überhaupt invertierbar?

Bilde [mm]\frac{\partial S}{\partial V}[/mm] und nutze den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Bezug
                
Bezug
Funtion invertieren: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:54 Fr 18.11.2016
Autor: BAGZZlash

Hallo,

okay, zwei entscheidende Hinweise, tausend Dank!

Also ist

[mm]\frac{\partial S}{\partial V}=\frac{b\left(\frac{a}{V}\right)^{b(N-1)}(2N-3)}{\left(\left(\frac{a}{V}\right)^{b(N-1)}-1\right)^2(b(N-1)-1)}[/mm]

und somit

[mm]\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{\left(\left(\frac{a}{S}\right)^{b(N-1)}-1\right)^2(b(N-1)-1)}{b\left(\frac{a}{S}\right)^{b(N-1)}(2N-3)}[/mm]

ja?

Bezug
                        
Bezug
Funtion invertieren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 20.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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