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| Aufgabe | | Eine Polynomfunktion 2. Grades geht durch P(-2,0) u. Q(4,0) und berührt die Gerade y=9. Welchen Inhalt hat die von ihr und der x-Achse begrenzten Fläche? |
Hallo!
Ich habe der Aufgabenstellung folgende Informationen entnommen:
0=4a-2b+c
0=16a+4b+c
[mm] 9=ax^2+bx+c
[/mm]
und dennoch reichen diese Informationen nicht auf um den Funktionsterm zu bestimmen.
Kam auf die Idee irgendwie die Symmetrieeigenschaften zu nutzen. Der Scheitelpunkt wäre ja def. durch 0=2ax+b.Aber irgenwie hilft mir das nicht weiter. Könnte mir bitte jemand helfen?
Wie komme ich mithilfe der Symmetrieeigenschaften auf die fehlende Info.?
Vielen Dank!
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Eine Polynomfunktion 2. Grades geht durch P(-2,0) u. Q(4,0)
> und berührt die Gerade y=9. Welchen Inhalt hat die von ihr
> und der x-Achse begrenzten Fläche?
> Hallo!
>
> Ich habe der Aufgabenstellung folgende Informationen
> entnommen:
>
> 0=4a-2b+c
> 0=16a+4b+c
Der Funktionsterm ist schon durch die Punkte P und Q bis auf einen Faktor festgelegt.
> [mm]9=ax^2+bx+c[/mm]
Das ist die Bedingung, daß die Gerade y=9 den Funktionsterm im Punkt x schneidet.
Für die Berührung mit der Geraden muß weiterhin gelten:
[mm]0=2ax+b[/mm]
>
> und dennoch reichen diese Informationen nicht auf um den
> Funktionsterm zu bestimmen.
>
> Kam auf die Idee irgendwie die Symmetrieeigenschaften zu
> nutzen. Der Scheitelpunkt wäre ja def. durch 0=2ax+b.Aber
> irgenwie hilft mir das nicht weiter. Könnte mir bitte
> jemand helfen?
> Wie komme ich mithilfe der Symmetrieeigenschaften auf die
> fehlende Info.?
>
> Vielen Dank!
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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Hallo Mathe Power und danke für deine Anwort!
Wie muss ich aber jetzt genau vorgehen 0=2ax+b nach x umformen und in [mm] 9=ax^2+bx+c [/mm] einsetzen?Das Probem ist dann, dass ich aber immer noch eine Varible zuviel in der Gleichung habe. Es entsteht [mm] ja:9=\bruch{-b^2}{4a}-\bruch{b^2}{2a}+c. [/mm] Außerdem: Warum gilt eigentlich bei der Berührung mit der Geraden 0=2ax+b? Wer sagt, dass der Berührungspunkt gleich dem Scheitelpunkt ist?
Ich verstehe das noch nicht ganz, könnte mir das bitte noch jemand genauer erklären?Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 20.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Mathe Power und danke für deine Anwort!
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> Wie muss ich aber jetzt genau vorgehen 0=2ax+b nach x
> umformen und in [mm]9=ax^2+bx+c[/mm] einsetzen?Das Probem ist dann,
> dass ich aber immer noch eine Varible zuviel in der
> Gleichung habe. Es entsteht
> [mm]ja:9=\bruch{-b^2}{4a}-\bruch{b^2}{2a}+c.[/mm] Außerdem: Warum
> gilt eigentlich bei der Berührung mit der Geraden 0=2ax+b?
> Wer sagt, dass der Berührungspunkt gleich dem Scheitelpunkt
> ist?
>
> Ich verstehe das noch nicht ganz, könnte mir das bitte noch
> jemand genauer erklären?Vielen Dank!
Hallo,
Im Gegensatz zu einem Schnittpunkt haben bei einem Berührungspunkt die Gerade und die Parabel im gemeinsamen Punkt auch den gleichen Ansteig.
Da die Gerade y=9 eine Parallele zur x-Achse ist, hat sie überall den Anstieg 0.
Wenn die Parabel die Gerade berührt, muss sie dort ebenfalls den Anstieg 0 besitzen (die Gerade ist also eine waagerechte Tangente.
Daraus folgt zweierlei:
1) Der Berührungspunkt ist gleichzeitig Scheitelpunkt (im Scheitelpunkt erfolgt der Wechsel zwischen positiven und negativen Anstiegen, also Anstieg=0)
2) Die erste Ableitung der Parabel muss im Berührungspunkt gleich 0 sein. Die erste Ableitung von [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] ist aber y'=2ax+b, deswegen kann man 2ax+b=0 ansetzen.
Gruß Abakus
>
> Gruß
>
> Angelika
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Danke Abakus!
Und ich dachte immer an einen Schnittpunkt, da ja in der Aufgabenstellung nicht explizit das Wort Tangente erwähnt wird....
Gruß
Angelika
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