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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Icyangel |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=1-\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
a) In welchem Punkt des Schaubildes gibt es eine Tangente, die durch den Ursprung geht?
b) Untersuche, ob die Fläche zwischen dem Schaubild und der Asymptote für x größer/gleich 1 einen endlichen Inhalt hat. |
Hi!
Ich sitze leider schon 2 Stunden an dieser Aufgabe und komme nicht weiter!
Kann mir jmd bitte einen Lösungshinweis geben ;( Bin dankbar für jeden Tipp!
Lg
verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Verena!
Gesucht ist eine Ursprungsgerade, die die genannte Funktion $f(x) \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] 1-x^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm] an einem Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ b \ | \ f(b) \ \right)$ [/mm] berühren soll.
Das heißt, diese Ursprungsgerade hat die Form $y \ = \ [mm] m_t*x$ [/mm] .
Dabei muss nun auch die Steigung [mm] $m_t$ [/mm] dieser Geraden der Steigung der Kurve an der Berührstelle $x \ = \ b$ entsprechen.
Es gilt also: [mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ [mm] \red{-}\left(-\bruch{1}{2}\right)*b^{-\bruch{3}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}\bruch{1}{2*\wurzel{b^3}}$ [/mm]
Ebenso müssen am Berührpunkt $B_$ die Funktionswerte übereinstimmen:
$y(b) \ = \ [mm] m_t*b [/mm] \ = \ f(b) \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{\wurzel{b}}$ [/mm]
Setzen wir nun den Wert der Steigung [mm] $m_t$ [/mm] in diese Gleichung ein, erhalten wir die Bestimmungsgleichung für die Berührstelle $b_$ :
[mm] $\bruch{1}{2*\wurzel{b^3}}*b [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{\wurzel{b}}$ [/mm]
Edit: Vorzeichen bei Ableitung korrigiert. Loddar
Nun nach $b \ = \ ...$ umstellen
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Verena!
Zunächst einmal müssen wir uns die Asymptote ermitteln.
Der Ausdruck [mm] $\bruch{1}{\wurzel{x}}$ [/mm] geht für sehr große x-Werte gegen $0_$ .
Damit verbleibt für die Asymptote der Funktion: $a(x) \ = \ 1-0 \ = \ 1$
Hier ist dann die gesuchte Fläche skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven gilt dann:
$A \ = \ [mm] \integral_a^b{a(x)-f(x) \ dx}$
[/mm]
In unserem Falle liegt ein sogenanntes uneigentliches Integral vor, da wir als obere Integrationsgrenze den "Wert" [mm] $+\infty$ [/mm] haben:
$A \ = \ [mm] \integral_{1}^{\infty}{1-\left(1-\bruch{1}{\wurzel{x}}\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{x^{-\bruch{1}{2}} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Icyangel |
danke für deine antwort:) ich versuchs jetzt nochmal mit deinen tipps zu lösen!
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