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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Di 21.07.2009 | | Autor: | guppyc |
| Aufgabe | Gegebene Gleichung: [mm] f(x)=\bruch{5}{8+9tx+t^{2}x^{2}}
[/mm]
t=Zeitkonstante
Umformen zu [mm] f(x)=\bruch{5}{(x-x_{1})*(x-x_{2})} [/mm] |
Ich hab jetzt zuerst mal die Nullstellen des Nenners ausgerechnet und hab damit
[mm] x_{1}=-\bruch{1}{t} [/mm] und
[mm] x_{2}=-\bruch{8}{t}
[/mm]
Jetzt hab ich gedacht, dass das Ergebnis
[mm] f(x)=\bruch{5}{(x+\bruch{1}{t})*(x+\bruch{8}{t})}
[/mm]
sein muss. Multipliziert man dieses Ergebnis aus, erhält man jedoch nicht die Ausgangsgleichung.
Um diese zu erhalten, muss man denn Nenner noch mit [mm] t^{2} [/mm] erweitern und erhält dann
[mm] f(x)=\bruch{5}{t^{2}(x+\bruch{1}{t})*(x+\bruch{8}{t})}
[/mm]
Wieso muss man da t² ergänzen? Ich versteh nicht, wo das verloren gegangen ist.
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Di 21.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Unter der Voraussetzung, dass $t [mm] \not=0$ [/mm] ist gilt:
[mm] $8+9tx+t^2x^2 [/mm] = [mm] t^2(x^2+\bruch{9}{t}x+\bruch{8}{t^2}).
[/mm]
Also:
[mm] $8+9tx+t^2x^2 [/mm] =0 [mm] \gdw x^2+\bruch{9}{t}x+\bruch{8}{t^2}=0$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 21.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegebene Gleichung: [mm]f(x)=\bruch{5}{8+9tx+t^{2}x^{2}}[/mm]
> t=Zeitkonstante
> Umformen zu [mm]f(x)=\bruch{5}{(x-x_{1})*(x-x_{2})}[/mm]
> Ich hab jetzt zuerst mal die Nullstellen des Nenners
> ausgerechnet und hab damit
> [mm]x_{1}=-\bruch{1}{t}[/mm] und
> [mm]x_{2}=-\bruch{8}{t}[/mm]
> Jetzt hab ich gedacht, dass das Ergebnis
> [mm]f(x)=\bruch{5}{(x+\bruch{1}{t})*(x+\bruch{8}{t})}[/mm]
> sein muss. Multipliziert man dieses Ergebnis aus, erhält
> man jedoch nicht die Ausgangsgleichung.
> Um diese zu erhalten, muss man denn Nenner noch mit [mm]t^{2}[/mm]
> erweitern und erhält dann
> [mm]f(x)=\bruch{5}{t^{2}(x+\bruch{1}{t})*(x+\bruch{8}{t})}[/mm]
>
> Wieso muss man da t² ergänzen? Ich versteh nicht, wo das
> verloren gegangen ist.
das passiert, wenn Du bei
[mm] $$8+9tx+t^{2}x^{2}=0$$
[/mm]
durch [mm] $t^2 (\;\not=0)$ [/mm] dividierst. Du kannst es Dir auch so klarmachen:
Es ist
[mm] $$f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$$
[/mm]
mit $z(x)=5$ und [mm] $n(x)=n_t(x)=8+9tx+t^{2}x^{2}\,.$
[/mm]
Die Funktion
[mm] $$n(x)=8+9tx+t^{2}x^{2}\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
hat (für festes $t [mm] \not=0$) [/mm] die selben Nullstellen wie
[mm] $$h(x):=\frac{n(x)}{t^2}\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Dennoch sind die Funktionen [mm] $h(x)\,$ [/mm] und [mm] $n(x)\,$ [/mm] nicht gleich!
I.a.:
Eine Funktion [mm] $p(x)\,=ax^2+bx+c$ [/mm] ($a [mm] \not=0$ [/mm] fest) läßt sich umschreiben zu [mm] $p(x)=a(x-x_{N1})(x-x_{N2})\,,$ [/mm] wobei [mm] $\{x_{N1},x_{N2}\}$ [/mm] die Menge der Nullstellen von [mm] $p\,$ [/mm] ist (sofern diese nicht leer ist) [mm] $(\star)$. [/mm] Dennoch ist i.a. die Funktion [mm] $p\,$ [/mm] nicht mit $x [mm] \mapsto (x_x_{N1})(x-x_{N2})$ [/mm] gleichzusetzen.
[mm] $(\star)$ [/mm] Bemerkung:
Die Nullstellen lassen sich natürlich auch berechnen: Ist [mm] $p(x_N)=0,\,$ [/mm] so folgt (für festes $a [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $$ax_N^2+bx_N+c=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x_N^2+\frac{b}{a}x_N+\frac{c}{a}=0\,.$$
[/mm]
Weiter z.B. mit der pq-Formel oder quadratischer Ergänzung...
Gruß,
Marcel
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