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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Aaron |
| Aufgabe | Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t} [/mm] (x) = [mm] \bruch{tx^{2}}{x^{2}-4}. [/mm] Ihr Graph sei [mm] K_{t}
[/mm]
Durch welchen Punkt verlaufen alle Graphen [mm] K_{t}? [/mm] |
Hallo,
als erstes mal hoffe ich, dass ich hier grad alles richtig mache, falls ich gegen eine Regel verstoße ist es keine Absicht 
Also ich bin gerade dabei für meine Klausur am Montag zu lernen und dabei bin ich nochmal ein paar Aufgaben durchgegangen, unter anderem auch obrige.
Nun ich ich habe mir den Graphen mit ein paar vorgegeben Werten für t meiner Wahl angeschaut und der gesuchte Punkt scheint 0 zu sein. Nur weiß ich nicht wie ich das rechnerisch belegen soll.
Also bei der Nullstellen + Achenschnittpunktberechnung bin ich ja jeweils auf den Punkt 0 gekommen. Verständlich.
Aber ich weiß nicht wie ich das nun belegen soll.
Ich denke mal hier ist es nicht so gern gesehen, wenn man einfach nur nach einer Lösung fragt, allerdings sind es ja keine Hausaufgaben etc. sondern einfach nur für mein Verständniss und mir fehlt peinlicher Weise wirklich der Ansatz.
Wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 04.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin aaron,
ist schon in ordnung! entspann dich einfach .
1. gemeinsamer punkt
> Nun ich ich habe mir den Graphen mit ein paar vorgegeben
> Werten für t meiner Wahl angeschaut und der gesuchte Punkt
> scheint 0 zu sein. Nur weiß ich nicht wie ich das
> rechnerisch belegen soll.
wenn die funktion [mm] f_{t1} [/mm] und [mm] f_{t2} [/mm] einen punkt gemeinsam haben, muss gelten:
[mm] f_{t_{1}}(x)=f_{t_{2}}(x) [/mm] [und [mm] t_{1} [/mm] > 0 , [mm] t_{2} [/mm] > 0 ]
also
[mm] \bruch{t_{1}*x^2}{x^2-4} [/mm] = [mm] \bruch{t_{2}*x^2}{x^2-4}
[/mm]
[mm] t_{1}*x^2 [/mm] = [mm] t_{2}*x^2
[/mm]
[mm] t_{1}*x^2 [/mm] - [mm] t_{2}*x^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] * [mm] (t_{1} [/mm] - [mm] t_{2}) [/mm] = 0
für [mm] t_{1} \ne t_{2} [/mm] kann ich
durch [mm] (t_{1} [/mm] - [mm] t_{2}) [/mm] teilen
=> x = 0
=> p (0 / 0)
2. Nullstellen mit x-Achse und y-Achse
> Also bei der Nullstellen + Achenschnittpunktberechnung bin
> ich ja jeweils auf den Punkt 0 gekommen. Verständlich.
>
> Aber ich weiß nicht wie ich das nun belegen soll.
Zur Ermittlung des Schnittpunktes mit der y-Achse setze ich x=0
=> [mm] f_{t}(x)= \bruch{t*0^2}{0^2-4} [/mm] = 0
gilt für alle t!
Zur Ermittlung der Nullstellen (x-Achse) setze ich [mm] f_{t}(x) [/mm] =0
0 = [mm] \bruch{t*x^2}{x^2-4} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 2 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ne [/mm] -2 [Polstellen bzw. Def.lücken]
0 = [mm] t*x^2 [/mm]
hier beachten: t > 0 vorausgesetzt ! also kann ich durch t teilen
und erhalte als Nullstellen
[mm] x^2 [/mm] = 0 bzw. x=0
dies gilt (da die lösung nicht mehr von t abhängt, für alle t).
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Aaron |
Dankeschön schonmal. Also dein Weg den du da aufgezeigt hast ist genau das was ich gesucht habe. Nunaber nochmal ne kleine Frage. Wenn ich mit der Nullstelle schon gezeigt habe, dass alle Graphen unabhängig von t den Punkt (0/0) haben, ist damit auch schon bewiesen, dass es der gemeinsame Schnittpunkt aller Graphen ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich denke ja, es sei denn du sollst zeigen, dass das der einzige gemeinsame Punkt ist. Dann müsstest du ziegen, dass alle anderen Punkte unterschiedlich verlaufen.
Tipp: Dazu reicht es, die "besonderen" Punkte zu betrachten, also Wendepunkte, Extrempunkte und Nullstellen
Marius
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