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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 08.03.2008 | | Autor: | nic08 |
| Aufgabe 1 | Berechnen von Parameter, Extrema, Wendepunkte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] fa(x)=-\bruch{1}{a}(x-2)²(x+4)
[/mm]
a) ermitteln sie die Nullstellen der Funktionen fa.
Ich hab also erstmal geguckt und mich daran erinnert, dass ich gleich null (=0) setzen muss und dass, wenn ein Faktor null ist, die gleichung auch gleich null ist..... hier hab ich also
[mm] xN_{1}= [/mm] 2 , [mm] xN_{2}= [/mm] -4 und [mm] xN_{3}= [/mm] 0 raus.
Danach hab ich alles einmal ausgeklammert und kam erst bei [mm] (x³-12x+16)\*-\bruch{1}{a} [/mm] raus, dann hab ich es auf [mm] -\bruch{1}{a}x³+12\bruch{1}{a}x-16\bruch{1}{a} [/mm] raus.. kann das stimmen??
und müsste ich erst einmal so verfahren, um die Aufgaben b und c lösen zu können?
b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Extrema in Abhängigkeit vom Parameter a.
dazu brauch ich doch die 1. Ableitung, jedoch hab ich leider keine Ahnung wie ich das in Abhängigkeit vom Parameter machen soll, dann kommt doch in der extremstelle auch der Parameter vor, oder?
f '_{a} [mm] (x)=-\bruch{3}{a}x²+12\bruch{1}{a}
[/mm]
jedoch weiß ich leider nicht weiter..
c) Weisen Sie nach: Die Koordinaten des Wendepunktes [mm] W_{a} [/mm] des Graphen von [mm] f_{a} [/mm] sind das arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten der Extrema.
Welche eigenschaften des Graphen von [mm] f_{a} [/mm] kann hieraus durch geometrische Interpretation vermutet werden?
also das arithmetische Mittel zweier Zahlen is doch [mm] \bruch{a+b}{2},
[/mm]
und was ist mit geometrischer Interpretation gemeint?? |
Ich mag zwar mathe, hab aber leider nicht das Verständnis dafür und hoffe, ihr könnt mir helfen, es zu verstehen. Danke im Vorraus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 08.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
zu a)
Die Funktion ist 0, wen mindestens einer der Faktoren 0 ist. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] stimmen, aber wie kommst du auf [mm] x_3 [/mm] ?
zu b)
Die Funktion läßt sich am einfachsten ableiten, wenn man alles ausmultipliziert. Dein Ergebnis: f(x) = [mm] -\frac{1}{a}(x^3 [/mm] -12x + 16 )
stimmt. Beim Ableiten betrachtest du den Parameter a wie eine beliebige reelle Zahl, dann erhälst du genau die Ableitung, die du angegeben hast.
Deren Nullstellen nußt du jetzt berechnen, daraus bekommst du x = 2 und x = -2 Jetzt berechnet du die zweite Ableitung (die hängt auch von a ab) und setzt die Werte x = 2 und x = -2 in die zweite Ableitung ein. je nach Vorzeichen deines Ergebnisses kannst du entscheiden, ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt.
zu c)
Den Wendepunkt erhälst du als Nullstelle der zweiten Ableitung (Ergebnis: (0 | [mm] -\frac{16}{a}) [/mm] ) Jetzt mußt du noch zeigen, dass die x-Koordinate des Wendepunkts der Mittelwert aus den x-Koordinaten der beiden Extrema ist und, dass für die y-Koordinaten das Gleiche gilt.
Die geometrische Interpretation ist: Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt (das ist bei jedem Polynom vom Grad 3 der Fall).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 08.03.2008 | | Autor: | nic08 |
hab als Extrempunkte [mm] P(2/-\bruch{12}{a}) [/mm] und [mm] P(-2/\bruch{12}{a}) [/mm] heraus.
Aber wie kommt man beim wendepunkt auf [mm] P_{w}(0/-\bruch{16}{a})? [/mm] Die Koordinate x kann ich nachvollziehen, aber den y-wert [mm] \bruch{16}{a} [/mm] leider nicht..
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Hallo nic08,
> Vielen Dank
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> hab als Extrempunkte [mm]P(2/-\bruch{12}{a})[/mm] und
> [mm]P(-2/\bruch{12}{a})[/mm] heraus.
Die zugehörigen y-Werte stimmen nicht.
> Aber wie kommt man beim wendepunkt auf
> [mm]P_{w}(0/-\bruch{16}{a})?[/mm] Die Koordinate x kann ich
> nachvollziehen, aber den y-wert [mm]\bruch{16}{a}[/mm] leider
> nicht..
[mm]f\left(0\right)=-\bruch{1}{a}*\left(0-2\right)^ 2*\left(0+4\right)[/mm]
[mm]=-\bruch{1}{a}*\left(-2\right)^ 2*4[/mm]
[mm]=-\bruch{1}{a}*4*4=-\bruch{16}{a}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Sa 08.03.2008 | | Autor: | nic08 |
okay, vielen Dank, hab es in die normale funktionsgleichung eingesetzt, zuvor halt gewundert.
Hab die extremstellen(x1=2) u (x2=-2) aber in die 2.Ableitung eingesetzt und dann kam das raus.. bei -/bruch{6}{a}x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 08.03.2008 | | Autor: | nic08 |
| Aufgabe | | sry, hab ausversehen Mitteilung angeklickt. |
okay, vielen Dank, hab es in die normale funktionsgleichung eingesetzt, zuvor halt gewundert.
Hab die extremstellen(x1=2) u (x2=-2) aber in die 2.Ableitung eingesetzt und dann kam das raus.. bei -/bruch{6}{a}x
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Hallo nic08,
> sry, hab ausversehen Mitteilung angeklickt.
> okay, vielen Dank, hab es in die normale
> funktionsgleichung eingesetzt, zuvor halt gewundert.
>
> Hab die extremstellen(x1=2) u (x2=-2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber in die
> 2.Ableitung eingesetzt und dann kam das raus.. bei
> -/bruch{6}{a}x
ja, damit bestimmst du die Art des Extremums --> s. in der anderen Frage
[mm] $f_a''(x_N)>0$ [/mm] --> Minimum, [mm] $f_a''(x_N)<0$ [/mm] --> Maximum
wobei [mm] $x_N$ [/mm] die mögliche Extremstelle ist, also die NST der 1. Ableitung
Die Koordinaten (bzw. genauer die y-Koordinate) des Extrempunktes auszurechnen, musst du natürlich die Extremstelle [mm] $x_N$ [/mm] in die Funktionsgleichung (der Ausgangsfunktion) einsetzen.
Die y-Koordinate [mm] $y_N$ [/mm] des Extrempunktes [mm] $P=(x_N/y_N)$ [/mm] ist ja der Funktionswert an der Stelle [mm] $x_N$
[/mm]
Genauso mit der/den Wendestelle/n ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 08.03.2008 | | Autor: | nic08 |
| Aufgabe | | okay, danke, nur noch eine Frage, |
wie berechne ich die Wendetangente?
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Hallo nic08,
> okay, danke, nur noch eine Frage,
> wie berechne ich die Wendetangente?
Ein Wendepunkt ist vorhanden, wenn [mm]f''\left(x_{W}\right)=0[/mm] und [mm]f'''\left(x_{W}\right) \not= 0[/mm]
Die Steigung der Wendetangente berechnet sich dann zu [mm]m_{Wendetangente}=f'\left(x_{W}\right)[/mm]
Die Gleichung der Wendetangente ergibt sich nach Mathebank
Gruß
MathePower
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