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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 12.01.2008 | | Autor: | JulGe |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{t} [/mm] mit [mm] f_{t}(x)=tx^{3}-3(t+1)x
[/mm]
Weise rechnerisch nach, dass alle Schaubilder [mm] f_{t} [/mm] durch einen gemeinsamen Punkt P gehen. Gib diesen Punkt an.
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Guten Morgen,
kann man diese Aufgabe lösen, indem man z.B. für t erstmal 1 einsetzt und dann 2, dann 3 und die ersten beiden Funktionen dann gleichsetzt und damit dann den Schnittpunkt angibt. Danach dann die Funktion für t=3 mit einer der beiden ersten gleichsetzen. Wäre das der rechnerische Nachweis?
Gruss
Julian
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Hallo JulGe,
der rechnerische Nachweis verläuft eigentlich genau wie deine Idee mit den konkreten Zahlenwerten, nur dass du zwei allgemeine, aber verschiedene Parameter [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$ ($t_1\neq t_2$) [/mm] hernimmst und dann [mm] $f_{t_1}(x)=f_{t_2}(x)$ [/mm] gleichsetzt.
Also [mm] $t_1x^3-3(t_1+1)x=t_2x^3-3(t_2+1)x$
[/mm]
Das löse mal nach $x$ auf, dann bekommst du den/die x-Wert/e des/der Schnittpunkt/e heraus.
Die kannst du dann nachher einfach in eine der Funktionsvorschriften einsetzen und den/die y-Wert/e berechnen.
Bedenke, dass mit [mm] $t_1\neq t_2$ [/mm] gilt: [mm] $t_1-t_2\neq [/mm] 0$ !!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 12.01.2008 | | Autor: | JulGe |
Vielen Dank erstmal für die Antwort.
Ich kann aber die Gleichung irgendwie nicht nach x auflösen. Muss man das vielleicht mit Polynomdivision machen? Da weiß ich aber auch nicht, wie ich vorgehen soll. Was ich gemacht habe ist mal die Gleichung auf Null zu setzen. Mehr ging aber nicht.
[mm] t_{1}x^3-t_{2}x^3-3t_{1}x+3t_{2}x=0
[/mm]
Könnt ihr mir da bitte nochmal helfen.
Danke
Julian
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Hallo,
> Vielen Dank erstmal für die Antwort.
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> Ich kann aber die Gleichung irgendwie nicht nach x
> auflösen. Muss man das vielleicht mit Polynomdivision
> machen? Da weiß ich aber auch nicht, wie ich vorgehen soll.
> Was ich gemacht habe ist mal die Gleichung auf Null zu
> setzen. Mehr ging aber nicht.
>
> [mm]t_{1}x^3-t_{2}x^3-3t_{1}x+3t_{2}x=0[/mm]
Was haben denn alle Summanden gemeinsam? Genau, ein x. Das kannst du also ausklammern und hast dann auch schon die erste Lösung.
[mm] x*(t_{1}*x^2-t_{2}*x^2-3t_{1}+3t_{2})=0
[/mm]
usw. hilft dir das erstmal weiter ?
> Könnt ihr mir da bitte nochmal helfen.
>
> Danke
Liebe Grüße,
exeqter
> Julian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 12.01.2008 | | Autor: | JulGe |
Da könnte ich doch jetzt, den Satz vom Nullprodukt anwenden. Damit wäre die erste Lösung 0 und die nächste Lösungen müsste man jetzt mit der Mitternachtsformel oder Polynomdivison bestimmen können. Wie das geht weis ich aber wegen den verschiedenen ts nicht. Da ich mir die Funktionsschar schon mal geplottet habe weis ich, dass alle durch den Punkt (0/0) gehen aber ich will trotzdem noch wissen wies weiter geht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Ja Richtig die erste Lösung ist schonmal x=0, wenn du 0 in deine Ausgangsgleichung einsetzt erhälst du
f(0) = 0, also ist der erste gesucht Punkt (0/0) - es gibt aber noch 2 weitere, die du mit der Mitternachtformel oder einfach durch ziehen einer Wurzel herrausfinden kannst .
Durch ausklammern von x erhälst du nämlich:
[mm] x²(t_{1} -t_{2}) -3(t_{1} -t_{2}) [/mm] = 0
[mm] x²(t_{1} -t_{2}) [/mm] = [mm] 3(t_{1} -t_{2}) [/mm] | : [mm] (t_{1} -t_{2})
[/mm]
x² = 3
x= [mm] \pm \wurzel(3)
[/mm]
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