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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Magnia |
Gegeben ist die Funktionschar fk mit [mm] fk(x)=(x^2+4x+k)e^-x [/mm] kR
Begründen Sie dass die Funktion fk, deren Graph eine Nullstelle hat, auch stets eine extremstelle hat
durch vergleich der gleichungen fk(x)=0 und f`(x)=0
durch betrachtung des verhaltens von f(x) für x ----> + [mm] \infty [/mm] bzw. x----> - [mm] \infty [/mm] ohne f´k zu betrachten
ich bin am zweifeln wie die ableitung von
e^-x ist === [mm] -e^x [/mm] ?
wenn ja würde ich mit der produktregel vorgehen
f´k(x) = [mm] (2x+4)*e^-x+(x^2+4x+k)*-e^x
[/mm]
ich haper aber daran was ich so recht machen soll ?
nach k auflösen ?
eigentlich suche ich ja die nullstellen
also doch eher nach x auflösen ?
stehe irgend wie auf dem schlauch
hoffe ihr könnt mir weiter helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Magnia |
ja so habe ich es mir schon gedacht:
aber hänge irgend wie
[mm] (x^2+4x+k)e^-x [/mm] =0
x^2e^-x+4xe^-x+ke^-x = 0 / : e^-x darf ich doch machen oder ?
[mm] x^2+4x+k [/mm] = 0
-2 [mm] \pm 2\wurzel{k}
[/mm]
[mm] (x^2+4x+k)e^-x
[/mm]
(2x+4)*e^-x + [mm] (x^2+4x+k)*-e^-x [/mm] ausklammern und durch e^-x erhallte ich
2x+4 [mm] -x^2-4x-k [/mm] = 0
[mm] x^2+2x+4+k=0
[/mm]
-1 [mm] \pm \wurzel{1-(4+k)}
[/mm]
irgend was stimmt nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
vielen dank für deine antwort
leider ist es jetzt alles super durcheinander geworden und ich sehe meine fehler nicht mehr.
also nochmal :
fk(x)= [mm] (x^2+4x+k)*e^-x [/mm] = 0 / :e^-x
= [mm] x^2+4x+k [/mm] =0
P/Q Formel
-2 [mm] \pm \wurzel{4-k}
[/mm]
f´k(x)= (2x+4)*e^-x + [mm] (x^2+4x+k)*-e^-x [/mm] = 0 / : e^-x
= (2x+4)+ [mm] (x^2+4x+k)*-1 [/mm] = 0
= (2x+4) - [mm] x^2-4x-k [/mm] = 0
= -2x [mm] -x^2 [/mm] +4-k = 0 / * -1
= 2x + [mm] x^2 [/mm] - 4 +k = 0
P/q -1 [mm] \pm \wurzel{1-(-4+k)}
[/mm]
scheint noch nen fehler zu sein....
ich weiss es nicht
auch weiss ich so recht mit diesem teil nichts anzufangen
Begründen Sie dass die Funktion fk, deren Graph eine Nullstelle hat, auch stets eine extremstelle hat
durch betrachtung des verhaltens von f(x) für x ----> + [mm] \infty [/mm] bzw. x----> - [mm] \infty
[/mm]
ich meine wenn es eine nullstelle gibt, gibt es ja auch immer mind. 1 extrema
doch wie soll man das ausdrücken ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Magnia |
irgend wie komme ich heute überhaupt nicht damit klaar.
sorry der vielen nachfragen
oben is ja k [mm] \le [/mm] 4
und unten
K [mm] \ge [/mm] -3
sagt mir leider nicht sehr viel ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Magnia |
ja, danke dann lass es die 5 eben sein aber was sagt es mir jetzt ?
das is doch das entscheidende was ich meinte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Magnia!
Die Behauptung war doch: Wenn es Nullstellen gibt, existieren auch Extremwerte.
Nullstellen existieren für $k \ [mm] \le [/mm] \ 4$, Extremwerte für $k \ [mm] \le [/mm] \ 5$.
Und eine Zahl die kleiner-gleich $4_$ ist, ist ja auch automatisch kleiner-gleich $5_$ ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Magnia |
OK Danke ! Das habe ich verstanden ist ja eigentlich absolut logisch...
Begründen Sie dass die Funktion fk, deren Graph eine Nullstelle hat, auch stets eine extremstelle hat
durch betrachtung des verhaltens von f(x) für x ----> + [mm] \infty [/mm] bzw. x----> - [mm] \infty
[/mm]
ohne f´k zu betrachten.
folgende Gedanken
[mm] fk(x)=(x^2+4x+k)*e^-x
[/mm]
das k bestimmt ja nur den f(x) schnittpunkt
die e^-x verläuft ja für x ----> [mm] +\infty, [/mm] dann f(x) gegen 0
x ---->- [mm] \infty, [/mm] dann f(x) gegen [mm] +\infty
[/mm]
wir haben also eine kurve
betrachte ich nun die funktion
[mm] fk(x)=(x^2+4x+k)*e^-x [/mm] und weiss dass e^-x eine kurve ist gegen 0 für + [mm] \infty
[/mm]
dann müsste man doch erkennen, dass dieser teil [mm] x^2+4x+k [/mm] auch für + [mm] \infty [/mm] gegen 0 strebt nur halt langsamer.
doch wie steht dies in verbindung mit den extrema ?
also das extrema und die nullstelle ergibt sich ja einzig aus diesem teil teil [mm] x^2+4x+k [/mm]
der ja einzelnd betrachtet eine parabel ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Magnia!
> betrachte ich nun die funktion
> [mm]f_k(x)=(x^2+4x+k)*e^{-x}[/mm] und weiss dass e^-x eine kurve ist
> gegen 0 für + [mm]\infty[/mm]
>
> dann müsste man doch erkennen, dass dieser teil [mm]x^2+4x+k[/mm]
> auch für + [mm]\infty[/mm] gegen 0 strebt nur halt langsamer.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> doch wie steht dies in verbindung mit den extrema ?
Die Kurve kommt doch für jedes $k_$ für sehr kleine $x_$ aus dem [mm] $+\infty$ [/mm] (streng monoton fallend) und strebt für sehr große $x_$ dann gegen die x-Achse, erreicht aber den Wert $y \ = \ 0$ nie wieder.
Dieser qualitative Verlauf ist völlig unabhängig von $k_$ .
Existiert jedoch eine Nullstelle, d.h. wir schneiden die x-Achse, gibt es auch auch ein Intervall mit negativen Funktionswerten, um anschließend wieder beliebig nahe gegen die x-Achse zu streben.
Es gibt also einen Wert [mm] $x_0$, [/mm] ab welchem die Kurve wieder ansteigt, nachdem sie ja die ganze Zeit fallend war.
Und wie nennt man nun eine solche Stelle, bei der die Kurve vorher abfällt und anschließend wieder ansteigt?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Madsen |
also, die ableitung (e hoch -x)ist schonmal richtig. Und bei den Nullstellen musst du nach x auflösen, ganz einfach aus dem Grund weil da f(x) steht und nicht f(k).
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz! Der Exponent [mm] $\red{-}x$ [/mm] bleibt beim Ableiten erhalten:
Produktregel![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
