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| Aufgabe | V := {f C[-1, 1] | f(x) = a * e^(-x) + b * [mm] e^x [/mm] + c * e^(x + 1), a, b, c R}
aufgabe a) ist dim(V) = 2 ?
aufgabe b) ist W := {g : [-1, 1] --> R | g(x) = sin(x) + f(x), f V} eine lineare mannigfaltigkeit in c[-1,1] ?
aufgabe c) kann H(x) = [mm] e^x [/mm] + 5 * sinh(x) zu einer basis von V ergänzt werden?
aufgabe d) kann K(x) = e^(2x) + sin(x) zu einer basis von V ergänzt werden? |
mein problem ist folgendes: bei vektorräumen weiß ich was die basis eines solchen raumes ist, und wie sie nötigenfalls gebildet wird. auch bei polynomialräumen bin ich da mittlerweile hintergestiegen (zumindest halbwegs) aber ich weiß da oben bei dieser aufgabe echt nicht weiter grade...
zu a) da hab ich erstmal geguckt, was überhaupt als "basis" in frage käme. meiner meinung nach wären das:
e^(-x), [mm] e^x [/mm] und e^(x+1)
dann hab ich wie bei vektoren geschaut ob man die irgendwie untereinander in lineare abhängigkeit bringen kann (also basis 1 * faktor = basis 2 u.s.w....) bei [mm] e^x [/mm] und e^(x+^) tritt das doch auf, oder? -->
a * [mm] e^x [/mm] = e^(x+1)
a = e
damit blieben ja nur noch 2 "dimensionen" übrig. laut lösung (es steht nur da ob die aussage falsch oder wahr ist) stimmt das aber nicht. wie kann das sein??
zu aufgabe b) da bin ich davon ausgegangen daß sinx) eine weitere basis darstellt, die sich aus e^(-x), [mm] e^x [/mm] und e^(x+1) nicht bilden läßt. somit ist es keine lineare mannigfaltigkeit. laut lösung soll es jedoch stimmen. wie hängt das jetzt zusammen?
aufgabe c und d weiß ich nicht weiter, weil mir dieser "basis"-begriff fehlt :(
HELP!
3d1t: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (-.-, sonst wär ich ja nich hier o.O )
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Du hast den Funktionenraum
$V := [mm] \{f \in C[-1, 1] | f(x) = a e^{-x} + b e^x + c e^{x + 1}, a, b, c \in \IR\}$
[/mm]
> aufgabe a) ist dim(V) = 2 ?
a) Die von dir angegebenen Funktionen [mm] $e^{-x}, e^x, e^{x+1}$ [/mm] bilden offensichtlich ein Erzeugendensystem dieses Raumes, und du hast richtig erkannt, dass $e [mm] e^x [/mm] = [mm] e^{x+1}$ [/mm] ist, du hast also auch [mm] $e^{-x}, e^x$ [/mm] als Erzeugendensystem. Nun musst du nur noch nachweisen, dass diese Funktionen linear unabhängig sind: Der [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] $V$ ist zweidimensional.
> aufgabe b) ist $W := [mm] \{g : [-1, 1] \to \IR | g(x) = \sin(x) + f(x), f \in V\}$ [/mm] eine lineare mannigfaltigkeit in c[-1,1] ?
> zu aufgabe b) da bin ich davon ausgegangen daß sinx) eine
> weitere basis darstellt, die sich aus e^(-x), [mm]e^x[/mm] und
> e^(x+1) nicht bilden läßt. somit ist es keine lineare
> mannigfaltigkeit. laut lösung soll es jedoch stimmen. wie
> hängt das jetzt zusammen?
Was verstehst du denn unter einer linearen Mannigfaltigkeit?
Für mich sieht W nach dem aus, was ich als "affinen Unterraum" bezeichne: W ist die Menge aller Punkte eines Vektorraums ($C[-1, 1]$), die sich durch Addition der Elemente eines Untervektorraums (V) zu einem festen Punkt [mm] ($\sin(x)$) [/mm] des Vektorraums ergeben.
Dabei tritt [mm] $\sin(x)$ [/mm] nicht als Basisvektor auf, sondern als "Aufhängepunkt", und die Basis von V liefert die "Richtungsvektoren".
> aufgabe c) kann H(x) = [mm]e^x[/mm] + 5 * sinh(x) zu einer basis
> von V ergänzt werden?
> aufgabe d) kann K(x) = e^(2x) + sin(x) zu einer basis von
> V ergänzt werden?
>
> aufgabe c und d weiß ich nicht weiter, weil mir dieser
> "basis"-begriff fehlt :(
Was meinst du damit: Dir fehlt der Basis-Begriff? Meinst du, dass du (nur) noch keine Basis von V kennst, oder weißt du nicht, was eine Basis eines Funktionenraums überhaupt sein soll?
Der erste Schritt für Teile c) und d) ist, zu prüfen, ob H und K überhaupt in V liegen.
Gruß,
SirJective
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