Funktionsgrenzwert in C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] $\limes_{z\rightarrow\ i} \left(\bruch{1-z^2}{1+z^2} + \bruch{i}{z-i}\right)$ [/mm] mit $z [mm] \in \IC$ [/mm] exstiert! |
Hallo zusammen,
hab ein problem mit dieser Aufgabe...komm da nicht so ganz weiter, habe das Versuch zu vereinfachen, aber nachdem ich die beiden Brüche gleichnamig und dann zusammengefasst habe, konnte ich damit auch nix anfangen, dann hab ichs mit z= a+ib versucht, das endete aber dann auch schnell im reinsten Chaos.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathedepp!
Zerlege diesen Ausdruck in Real- und Imaginärteil und untersuche anschließend die beiden Grenzwerte [mm] $Re(z)\rightarrow [/mm] 0$ bzw. $Im(z) [mm] \rightarrow [/mm] 1$ .
Gruß
Loddar
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Ja die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, hab ich ja auch schon versucht, aber habe das nicht hinbekommen.
kannst du mir vielleicht da unter die Arme greifen??
Gruß mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 17.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo mathedepp_No.1,
> Zeigen sie, dass [mm]\limes_{z\rightarrow\ i} (\bruch{1-z^2}{1+z^2}[/mm]
> + [mm]\bruch{i}{z-i})[/mm] mit z [mm]\in \IC[/mm] exstiert!
> Hallo zusammen,
>
> hab ein problem mit dieser Aufgabe...komm da nicht so ganz
> weiter, habe das Versuch zu vereinfachen, aber nachdem ich
> die beiden Brüche gleichnamig und dann zusammengefasst
> habe, konnte ich damit auch nix anfangen,
Och, dann hast Du Dich aber verrechnet. Was ist denn Dein Hauptnenner?
Auf Real-/Imaginärteile brauchst Du weder bei z noch bei dem ganzen Term zurückzugreifen...
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 17.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> > Zeigen sie, dass [mm]\limes_{z\rightarrow\ i} (\bruch{1-z^2}{1+z^2}[/mm]
> > + [mm]\bruch{i}{z-i})[/mm] mit z [mm]\in \IC[/mm] exstiert!
> > Hallo zusammen,
bevor nun noch komplizierte Lösungsvorschläge kommen 
[mm] $\bruch{1-z^2}{1+z^2}\right+\bruch{i}{z-i}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1-z^2}{(z+i)(z-i)}\right+\bruch{i(z+i)}{(z+i)(z-i)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1-z^2+i(z+i)}{(z+i)(z-i)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{-z^2+iz}{(z+i)(z-i)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{-z(z-i)}{(z+i)(z-i)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{-z}{z+i}$
[/mm]
und daran kann man den Grenzwert einfach ablesen, da nun der Nenner nicht mehr gegen 0 konvergiert:
[mm] $\limes_{z\to i} \bruch{-z}{z+i}=\bruch{-i}{2i}=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Beim ersten Bruch sind Zähler und Nennergrad gleich. Da kann man noch reduzieren:
[mm]\frac{1 - z^2}{1 + z^2} = \frac{2 - \left( 1 + z^2 \right)}{1 + z^2} = -1 + \frac{2}{z^2 + 1}[/mm]
Und jetzt führe gemäß der Zerlegung [mm]z^2 + 1 = (z + \operatorname{i})(z - \operatorname{i})[/mm] eine Partialbruchzerlegung durch.
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