Funktionsgrenzwert < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] sei die Funktion f : [0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] durch
f(x) = [mm] x^\alpha sin(\bruch{1}{x} [/mm] fürx >0
f(x) = 0 für x = 0
gegeben.
a) Zeige, dass für [mm] \alpha \le [/mm] 0 kein Funktionsgrenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 existiert
b) Zeige, dass für [mm] \alpha [/mm] > 0 die Funktion an der Stelle x = 0 stetig ist.
c) Für welche [mm] \alpha [/mm] existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{f(x)-f(0)}{x} [/mm] |
Lösung:
a) [mm] \alpha \le [/mm] 0:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} (x^\alpha sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0}x^\alpha [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\0} in(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} e^\alpha*lnx [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\0}sin(\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] exp(\limes_{x\rightarrow\0}\alphalnx) [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\0}sin(\bruch{1}{x}
[/mm]
ln0 existiert nicht, somit existiert hier kein Funktionsgrenzwert!
b)x=0 [mm] \alpha>0: [/mm] stetig
f(0) = 0
[mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] f(x_{0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}x^\alpha sin(\bruch{1}{x} [/mm] < [mm] \limes_{x\rightarrow\0}x^\alpha [/mm] * 1 = [mm] 0^\alpha [/mm] = 0
Also ist [mm] f(x_{x} [/mm] = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x) stetig auf 0.
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{f(x)-f(0)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^\alpha sin(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0}x^\alpha-1 [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\0}sin(\bruch{1}{x}
[/mm]
Der Grenzwert ist 0 wenn [mm] \alpha-1 [/mm] > 0 bzw. [mm] \alpha [/mm] > 1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Fr 16.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Schlampiger kann man das kaum aufschreiben !!!!
a) Wähle [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{(2n+1) \pi}. [/mm] Dann: [mm] x_n--> [/mm] 0, und
[mm] f(x_n) [/mm] = ( [mm] \bruch{2}{(2n+1) \pi})^{\alpha}(-1)^n.
[/mm]
Für [mm] \alpha \le [/mm] 0 ist [mm] (fx_n)) [/mm] also divergent. Damit ist a) gezeigt.
b) zeigt man so: |f(x)| = [mm] |x|^{\alpha}|sin(1/x)| \le |x|^{\alpha}, [/mm] woraus Du alles ablesen kannst.
c) [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x} [/mm] = [mm] x^{\beta}sin(1/x), [/mm] wobei [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] -1.
Wende jetzt a) auf [mm] x^{\beta}sin(1/x) [/mm] an
FRED
|
|
|
| |
|
Tut mir Leid für die vielen Fehler.
zu a)
Wie kommst du auf $ [mm] f(x_n) [/mm] $ = ( $ [mm] \bruch{2}{(2n+1) \pi})^{\alpha}(-1)^n [/mm] $ und warum [mm] x_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2}{(2n+1) \pi} [/mm] ?
Wie kommst du außerdem noch auf die von dir festgestellte Divergenz?
zu b)
|f(x)| = $ [mm] |x|^{\alpha}|sin(1/x)| \le |x|^{\alpha} [/mm] $
Ehrlich gesagt sehe ich an der Formel nur, dass sie wahr ist. Stetigkeit kann ich hier nicht erkennen.
Da es sich hierbei um ein offenes Intervall handelt, habe ich nach dieser Definition verfahren: $ [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $. Wobei hier [mm] f(x_0) [/mm] = 0 die Stetigkeit beweisen sollte, oder?
zu c)
Ich weiß nicht genau was du bei a) gemacht hast. Hast du hier mit dem Limes gearbeitet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zu a)
> Wie kommst du auf [mm]f(x_n)[/mm] = ( [mm]\bruch{2}{(2n+1) \pi})^{\alpha}(-1)^n[/mm]
> und warum [mm]x_n[/mm] [mm]=[/mm] [mm]\bruch{2}{(2n+1) \pi}[/mm] ?
> Wie kommst du außerdem noch auf die von dir festgestellte
> Divergenz?
Wenn der Limes existierte, dann müsste jede beliebige Folge gegen den Grenzwert konvergieren. Umkehrschluss: wenn es auch nur eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] gibt, für die [mm] $f(x_n)$ [/mm] nicht konvergiert, so existiert der Limes nicht.
Fred hat sich nun eine FOolge ausgesucht, bei der der Sinus zwischne +1 und -1 hin- und her springt. Das ist dann der Fall, wenn 1/x ein ungeradzahliges Vielfaches von [mm] $\pi/2$ [/mm] ist, also
[mm] \bruch{1}{x_n} = \bruch{(2n+1) \pi}{2} [/mm]
Für n=1,3,5,7,... ist dann der Sinus gerade -1, und für n=2,4,6,8,... ist der Sinus +1.
Die Folge [mm] $x_n$ [/mm] konvergiert gegen 0, der Sinus hüpft zwischen +1 und -1 hin und her, zusammen ist also
[mm] f(x_n) = \left(\bruch{2}{(2n+1) \pi}\right)^{\alpha}(-1)^n[/mm]
Fur [mm] $\alpha\le0$ [/mm] springt auch [mm] $f(x_n)$ [/mm] zwischen positiven und negativen Werten hin- und her, ist also divergent.
> zu b)
> |f(x)| = [mm]|x|^{\alpha}|sin(1/x)| \le |x|^{\alpha}[/mm]
> Ehrlich
> gesagt sehe ich an der Formel nur, dass sie wahr ist.
Das ist doch schonmal etwas 
> Stetigkeit kann ich hier nicht erkennen.
> Da es sich hierbei um ein offenes Intervall handelt, habe
> ich nach dieser Definition verfahren:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0) [/mm]. Wobei hier [mm]f(x_0)[/mm]
> = 0 die Stetigkeit beweisen sollte, oder?
Ja, f ist in [mm] $x_0$ [/mm] stetig, wenn der Grenzwert existiert und gleich [mm] $f(x_0)$ [/mm] ist.
Der Punkt bei Freds Formel ist, dass [mm] $x^\alpha$ [/mm] für [mm] $\alpha>0$ [/mm] in 0 stetig ist. Mit der Formel hast du
[mm] 0 \le |f(x)| \le |x|^{\alpha} [/mm]
und damit ist
[mm] 0 \le \lim_{x\rightarrow x_0} |f(x)| \le \lim_{x\rightarrow x_0} |x|^{\alpha} = |x_0|^\alpha [/mm]
Für [mm] $x_0=0$ [/mm] ist also
[mm] 0 \le \lim_{x\rightarrow 0} |f(x)| \le 0 \implies \lim_{x\rightarrow 0} |f(x)| =0 \implies \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 [/mm]
>
> zu c)
> Ich weiß nicht genau was du bei a) gemacht hast. Hast du
> hier mit dem Limes gearbeitet?
Du weisst doch aus a) und b), dass [mm] $x^\alpha\sin(\bruch{1}{x})$ [/mm] in 0 für [mm] $\alpha>0$ [/mm] stetig und für [mm] $\alpha\le0$ [/mm] unstetig ist, weil der Grenzwert nicht existiert.
Und Fred hat dir vorgerechnet, dass
[mm] \bruch{f(x) -f(0)}{x-0} = x^{\alpha-1} \sin(\bruch{1}{x}) [/mm]
ist. Wann existiet also der Grenzwert, und wann nicht?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ich danke dir Rainer für deine sehr ausführliche und verständliche Erklärung!
c)
> Du weisst doch aus a) und b), dass
> [mm]x^\alpha\sin(\bruch{1}{x})[/mm] in 0 für [mm]\alpha>0[/mm] stetig und für
> [mm]\alpha\le0[/mm] unstetig ist, weil der Grenzwert nicht
> existiert.
>
> Und Fred hat dir vorgerechnet, dass
>
> [mm]\bruch{f(x) -f(0)}{x-0} = x^{\alpha-1} \sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> ist. Wann existiet also der Grenzwert, und wann nicht?
Ein Grenzwert exisitiert dann, wenn die Funktion stetig ist. Stetigkeit konnte in b) mit [mm] \alpha>0 [/mm] nachgewiesen werden. Somit muss der Exponent, in dem Fall [mm] \alpha-1, [/mm] auch größer Null sein, damit ein Grenzwert exisitiert, richtig?
Könntest du mir außerdem erklären, wofür die Formel [mm] \bruch{f(x) -f(0)}{x-0} [/mm] verwendet wird? Ich habe versucht die Formel in meine Formelsammlung wiederzufinden, war jedoch nicht fündig geworden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> c)
> > Du weisst doch aus a) und b), dass
> > [mm]x^\alpha\sin(\bruch{1}{x})[/mm] in 0 für [mm]\alpha>0[/mm] stetig und für
> > [mm]\alpha\le0[/mm] unstetig ist, weil der Grenzwert nicht
> > existiert.
> >
> > Und Fred hat dir vorgerechnet, dass
> >
> > [mm]\bruch{f(x) -f(0)}{x-0} = x^{\alpha-1} \sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> >
> > ist. Wann existiet also der Grenzwert, und wann nicht?
>
> Ein Grenzwert exisitiert dann, wenn die Funktion stetig
> ist. Stetigkeit konnte in b) mit [mm]\alpha>0[/mm] nachgewiesen
> werden. Somit muss der Exponent, in dem Fall [mm]\alpha-1,[/mm] auch
> größer Null sein, damit ein Grenzwert exisitiert, richtig?
Also weist du jetzt, dass dieser Grenzwert existiert, wenn [mm] $\alpha>1$ [/mm] ist.
> Könntest du mir außerdem erklären, wofür die Formel
> [mm]\bruch{f(x) -f(0)}{x-0}[/mm] verwendet wird? Ich habe versucht
> die Formel in meine Formelsammlung wiederzufinden, war
> jedoch nicht fündig geworden.
Stichwort: Differenzenquotient, und der Grenzwert ist der Differentialquotient
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
