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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Fr 09.12.2005 | | Autor: | cucho |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits,
ich habe eine Aufgabe zu beweisen. Und zwar ist eine Funktionenfolge definiert:
[mm] f_n:[0:1] [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
mit
[mm] f_n(x) [/mm] := n² [mm] x(1-x)^n
[/mm]
Erstens soll ich die Norm bestimmen [mm] \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] und zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] = [mm] \infty [/mm] .
Ich kann das Ganze wie folgt umformen:
n² x e^(n ln(1-x))
Da mein 0 < 1-x < 1 für x [mm] \in [/mm] ]0,1[ [mm] \Rightarrow [/mm] ln(1-x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] n ln(1-x) < 0 (da n [mm] \elem \IN)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < e^(n * ln(1-x)) < 1
Das heißt für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] muss doch [mm] \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] = [mm] \infty [/mm] sein, oder?
Ich habe aber ein Problem für alle n [mm] \in \IN [/mm] jeweils [mm] \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] zu finden. Wie geht das?
Ich vermute, dass die Norm jeweils der Ausdruck bis zu dem gewissen n ist wie er oben steht ist.
Der zweite Teil der Aufgabe besteht darin, die punktweise Konvergenz zu zeigen und zu zeigen, dass die Funktionenfolge nicht gleichmässig konvergiert. Dabei drehe ich mich noch im Kreis. Grrrrr.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bei der Berechnung der (Supremums-)Norm kannst du doch einfach für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit normaler Kurvendiskussion das Maximum der Funktion [mm] $f_n$ [/mm] auf $[0,1]$ bestimmen...
Die punktweise Konvergenz folgt sofort aus
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}n^2 \cdot q^n [/mm] =0$ für $0<q<1$.
Die gleichmäßige Konvergenz kann man mit Hilfe von
[mm] $\Vert f_n \Vert \le \Vert f_n-f \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] f [mm] \Vert$
[/mm]
und dem ersten Teil widerlegen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Fr 09.12.2005 | | Autor: | cucho |
Hallo,
erst mal danke für den Hinweis.
Ich habe da leider einen Schlauch auf dem ich stehe.
Und zwar soll ich zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist.
Ich sehe leider nicht, warum dann punktweise Konvergenz vorherrschen kann, wenn die Norm [mm] \infty [/mm] ist. Oder ist die Norm für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] nicht [mm] \infty.
[/mm]
Denn wenn [mm] n^2 [/mm] * q gegen [mm] \infty [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] , wie kann denn dann [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel_{[0,1]} [/mm] = [mm] \infty [/mm] sein?
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Hallo!
> Ich sehe leider nicht, warum dann punktweise Konvergenz
> vorherrschen kann, wenn die Norm [mm]\infty[/mm] ist. Oder ist die
> Norm für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] nicht [mm]\infty.[/mm]
> Denn wenn [mm]n^2[/mm] * q gegen [mm]\infty[/mm] für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] ,
> wie kann denn dann [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \parallel f_n \parallel_{[0,1]}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] sein?
Julius Antwort zielt auf den eigentlichen Kern der Aufgabe ab: Punktweise Konvergenz impliziert nicht gleichmäßige Konvergenz.
Die Norm ist die sogenannte Supremumsnorm:
[mm] $\|f_n\|_{[0;1]}=\sup\limits_{x\in[0;1]}\left\{|f_n(x)|\right\}$.
[/mm]
Letztlich ist also die Norm der maximal von [mm] $f_n$ [/mm] angenommene Wert. Diesen kannst du bekanntlich mittels [mm] $f_n'(x)=0$ [/mm] finden.
Gruß, banachella
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