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| Aufgabe | Diskutiere die Funktion:
$ [mm] f(x)=\bruch{x^4+x^3-8x-8}{4x^2+4x} [/mm] $ |
Hallo,
ich bin es schon wieder und komme schon wieder bei meinen Klausurübungen nicht weiter.
Das Problem sind unter anderen die hohen Potenzen. Ich weiß nicht mehr, wie man damit umgeht, wenn man z.b. die Nullstellen berechnen will. Ich weiß dass wir das mal gemacht haben, aber irgendwie kann ich das in meinen alten Unterlagen nicht mehr finden und im Internet finde ich nichts wirklich. Vermutlich, weil ich nicht weiß wonach ich suchen muss. Wäre super wenn mir jemand helfen kann.
$ [mm] f(x)=\bruch{x^4+x^3-8x-8}{4x^2+4x} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{(4x^3+3x^2-8)*(4x^2+4x)-(x^4+x^3-8x-8)*(8x+4)}{(4x^2+4x)^2} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{16x^5+16x^4+12x^4+12x^3-32x^2-32x-8x^5-4x^4-8x^4-4x^3+64x^2+32x+64x+32}{16x^4+16x^2} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{8x^5+16x^4+8x^3+32x^2+64x+32}{16x^4+16x^2} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{x^5+2x^4+x^3+4x^2+8x+4}{2x^2(x^2+1)} [/mm] $
Das habe ich jetzt raus bekommen und eigentlich glaube ich müsste das doch auch richtig sein, aber Derive sagt, dass man auf folgendes Ergebnis kommen kann:
$ [mm] f'(x)=\bruch{x^3+4}{2x^2} [/mm] $
Aber selbst, wenn mein Ergebnis richtig wäre, könnte ich damit nicht rechnen, weil ich nicht mehr weiß, wie man mit solchen Potenzen rechnet. Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfe.
Vielleicht weiß auch jemand eine Webside, wo mein Problem erklärt ist...?
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
Hallo
1.) Nullstellen Zähler gleich 0
[mm] x^{4}+x^{3}-8x-8 [/mm] =(x-2)*(x+1)*(x²+2x+4)
--> x1 = 2; (x2 = -1); (x3 = [mm] -1\pm \wurzel{-3}
[/mm]
x2 entfällt--> Polstelle
2. Nenner [mm] 4x^{2}+4x [/mm] = 4x(x+1)
somit kannst Du Deinen Bruch mit (x+1) kürzen.
Sieht doch jetzt schon viel einfacher aus
Ich hoffe, Dir geholfen zu haben.
mfg Miomi
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Hi,
danke schonmal für die schnelle Antwort, aber irgendwie kann ich bei Punkt 1 nicht wirklich folgen:
Was ist immer x1, x2 und x3? Und was ist eine Polstelle?
Wäre super wenn mir das jemand ein wenig ausfühlicher erklären könnte. Das kommt mir nämlich irgendwie gar nicht bekannt vor.
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
Hallo
mit x1; x2; x3 meine ich die Lösungen; 1; 2; 3 sind die Indezes
Bei x1 = -1 wird der Nenner 0 und ist also an dieser Stelle nicht definiert und somit eine Polstelle (zumindestens haben wir es so in der Schule gelernt)
Polstelle = Definitionslücke
mfg miomi
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Hi,
sorry, vielleicht bin ich einfach zu blöd das zu verstehen, aber wie kommst du denn zu diesen Lösungen? Wie ist der Weg dahin? Also wie erkennst du aus der Ausgangsformel zum Beispiel, dass x3=-2 ist?
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
[mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] - 8x - 8 = (x-2)*(x+1)*(x²+2x+4) = 0
Hier gilt Ist ein Faktor NULL so ist auch das Produkt NULL
z.B. (x-2) = 0 --> x = 2
dass z. B x = -1 sieht man auf dem ersten Blick, denn 1-1+8-8 = 0
somit kannst Du eine Polynomdivision durchführen:
[mm] (x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] - 8x - 8 [mm] ):(x+1)=x^{3}- [/mm] 8 = (x-2) *(x²+2x+4)
OOH !!! Ich erkenne meinen Fehler Sorry
x²+2x+4 hat keine weiteren Lösungen!!
somit gibt es nur +2 als Nullstelle!!!
Sorry, dass ich das erst jetzt bemerkte
Ich hoffe, dass ich trotzdem helfen konnte
Miomi
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Hi,
ich glaube ich hatte mich ein wenig falsch ausgedrückt, was ich nicht verstanden habe. Den Weg zu den Nullstellen kann ich finden, wenn ich die hohen Potenzen weg habe. Das ist ja der Fall, wenn man es so schreibt:
> [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] - 8x - 8 = (x-2)*(x+1)*(x²+2x+4)
Und genau dazu geht meine Frage: Wie kommt man darauf, dass man den Zähler zu diesem (x-2)*(x+1)*(x²+2x+4) umformen kann? Da muss es doch einen Weg geben. Das ganze macht man ja nicht durch ausprobieren.
> Hier gilt Ist ein Faktor NULL so ist auch das Produkt NULL
>
> z.B. (x-2) = 0 --> x = 2
>
> dass z. B x = -1 sieht man auf dem ersten Blick, denn
> 1-1+8-8 = 0
>
> somit kannst Du eine Polynomdivision durchführen:
> [mm](x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] - 8x - 8 [mm]):(x+1)=x^{3}-[/mm] 8 = (x-2)
> *(x²+2x+4)
>
> OOH !!! Ich erkenne meinen Fehler Sorry
>
> x²+2x+4 hat keine weiteren Lösungen!!
>
> somit gibt es nur +2 als Nullstelle!!!
Und -1. Also das habe ich scchon verstanden.
Mir geht es halt wirklich nur darum, wie ich die hohen Potenzen wegbekomme, wenn ich nicht ausklammern kann.
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHard!
Doch, bei höheren Potenzen mit geht man öfters mit Probieren vor, um die ersten ein/zwei Nullstellen herauszufinden.
Dabei beginnt man i.d.R. mit den ganzzahligen Teilern (beiderlei Vorzeichen) des Absolutgliedes; hier: $-8_$ .
Das heißt, die Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen lauten hier: [mm] $\pm [/mm] 1; \ [mm] \pm [/mm] 2; \ [mm] \pm [/mm] 4; \ [mm] \pm [/mm] 8$
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
danke für die schnelle Antwort. Aber ich will ja auch die ganzen Ableitungen bilden. Ich hatte auch in meiner ersten Frage geschrieben, wie ich vorgegangen bin, aber das war falsch. Und deswegen dachte ich, dass ich den Term am besten erst vereinfache, bevor ich ableite.
Aber zum vereinfachen von solchen termen mit hohen potenzen gibt es also keine klare vorgehensweise?!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHard!
Bei derartigen gebrochen-rationalen Funktionen ist es immer ratsam, die Nullstellen des Nenners auch im Zähler "auszuprobieren" (und auch umgekehrt).
Damit erhältst Du zum einen eventuelle Definitionslücken. Zudem kannst Du dann durch den entsprechenden Term [mm] $(x-x_N)$ [/mm] kürzen und damit Deine Funktion vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
Was hast Du für einen Taschenrechner mit /ohne Grafik ???
mfg Miomi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Sa 02.12.2006 | | Autor: | TryingHard |
Hi,
ich habe einen mit Grafik und einen ohne. Aber den mit darf ich leider nicht in Klausuren benutzen, sondern kann ich nur zum üben in der schule oder zu hause zum überprüfen benutzen.
LG TryingHard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Lueger |
ACHTUNG
-1 ist keine Polstelle!
Es ist eine Definitionslücke. (hebbar)
Grüße
Lueger
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