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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 02.01.2005 | | Autor: | Langer |
Hallo!
Muss folgende Aufgabe als hausarbeit lösen,
hab jedoch kein Plan wie:
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat im Ursprung ein Extremum.
in P (-1/-3) besitzt sie einen Wendepunkt. Die zugehörige Wendetangente geht durch Q(0/2)!
Wie lautet die Funktionsgleichung!?(und wie komme ich darauf)
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 02.01.2005 | | Autor: | Zai-Ba |
Du hast eine Fukntion mit der Form
f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] + dx + e gegeben.
Das kannst Du über ein Gleichungsystem lösen. Du solltest zuerst die o.a. Gleichung vier mal ableiten und dann kannst Du Deine Informationen einsetzen. z.B. "[...] hat im Ursprung ein Extremum.[...]"
enthält 2 Informationen :
1) f (0) = 0 <sonst könnte sie nicht durch den Ursprung laufen!>
2) f'(0) = 0 <Die Steigung,(=1.Ableitung) ist im Extremum = 0>
Insgesamt brauchst du jetzt noch drei weitere Informationen. Dann stellst Du Dein Gleichungsystem aus und löst es 
viel Spass, Zai-Ba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 02.01.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo!
> Muss folgende Aufgabe als hausarbeit lösen,
> hab jedoch kein Plan wie:
>
> Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat im Ursprung
> ein Extremum.
> in P (-1/-3) besitzt sie einen Wendepunkt. Die zugehörige
> Wendetangente geht durch Q(0/2)!
> Wie lautet die Funktionsgleichung!?(und wie komme ich
> darauf)
"Insgesamt brauchst du jetzt noch drei weitere Informationen. Dann stellst Du Dein Gleichungsystem aus und löst es " (Zitat von Zai-Ba)
Was Zai-Ba damit meint, ist, dass du diese Punkte in die allgemeine Funktion einsetzen musst.
Jedenfalls lautet die Funktionsgleichung f(x) = [mm] x^{4}+ x^{3}-3x^{2}
[/mm]
Um auf diese zu kommen, wendest du das Additions/Subtraktionsverfahren an oder das Gauss-verfahren -> je nachdem, was dir davon schon bekannt ist, das kann man mit beiden Verfahren lösen (Gauss war übrigens der nette Mann auf dem alten 10DM-Schein)
Oder aber du bist fleißig und stellst eine Gleichung nach a um, setzt es in die anderen Gleichungen ein. Dann eine der erhaltenen Gleichungen nach b umstellen... usw.
"Das kannst Du über ein Gleichungsystem lösen. Du solltest zuerst die o.a. Gleichung vier mal ableiten und dann..." (Zitat von Zai-Ba)
Warum sollte man das viermal Ableiten? Zweimal reicht doch völlig?!
Grüße Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 02.01.2005 | | Autor: | dominik |
[mm] y=f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
[mm] y'=f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d
[/mm]
1. Die erste Eigenschaft "Extremum im Nullpunkt" führt zu e=0 und d=0
weil f(0)=0 [die Kurve geht durch den Nullpunkt] [mm] \Rightarrow [/mm] e=0
und f'(0)=0 [die Kurve verläuft im Nullpunkt waagrecht] [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
Es bleibt somit folgende Gleichung:
[mm] y=f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}
[/mm]
[mm] y'=f'(x)=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx
[/mm]
[mm] y''=f''(x)=12ax^{2}+6bx+2c [/mm] [wird für den Wendepunkt verwendet]
2. Alle weiteren drei Eigenschaften haben mit dem Wendepunkt P(-1/-3) zu tun:
I) f(-1)=-3
II) f"(-1)=0 [Eigenschaft, dass P ein Wendepunkt ist]
III) f'(-1)=5
Begründung für c): Die Wendetangente (Tangente an die Kurve im Wendepunkt) geht durch P(-1/-3) und Q(0/2). Mit einer Skizze stellt man fest, dass der Unterschied der y-Werte 5 beträgt, der Unterschied der x-Werte 1, und da die Tangente von unten links nach oben rechts verläuft, ist die Steigung positiv, also [mm] \bruch{5}{1}=5=f'(-1).
[/mm]
I), II) und III) liefern drei Gleichungen:
I) a-b+c = -3
II) 12a-6b+2c = 0
III) -4a+3b-2c = 5
II)+III) c eliminieren: IV) 8a-3b=5
2*I)+III) c eliminieren: V) -2a+b =-1
IV)+3*V) 2a=2 [mm] \Rightarrow [/mm] a=1 [mm] \Rightarrow [/mm] V) b=2a-1=1 [mm] \Rightarrow [/mm] I) c=-3-a+b=-3
Die Gleichung der Parabel lautet: [mm] y=x^{4}+x^{3}-3x^{2}
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Disap |
Super Herleitung & Erklärung, doch alles stimmt da leider nicht:
> Die Gleichung der Parabel lautet: [mm]y=x^{4}+x^{3}-3x^{2}
[/mm]
>
Man spricht nur von einer Parabel, sofern man eine Funktion zweiten Grades hat.
Wir haben eine Funktion vierten Grades, also definitiv keine Parabel!
Schöne Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mo 03.01.2005 | | Autor: | dominik |
Die Funktion mit der Gleichung [mm] y=x^{4}+x^{3}-3x^{2} [/mm] ist sehr wohl eine Parabel, und zwar eine Parabel vierter Ordnung oder vierten Grades. Ausschlag gebend für die Ordnung oder den Grad ist die grösste Potenz.
Der Begriff Parabel stammt aus dem Alt-Griechischen para-ballein = darüber-werfen. Daraus entstand die Wurf-Parabel. Streng genommen könnte man demnach - nach Deiner Interpretation sogar nur die nach unten geöffneten Funktionen zweiten Grades Parabeln nennen.
Nun wird der Begriff aber ausgedehnt auf alle ganzrationalen Funktionen. (Der Graf einer Funktion dritten Grades zum Beispiel enthält in seiner S-Form zwei Bögen, die jeweils einer normalen Parabel gleichen.)
Gerne zitiere ich dazu die folgende Definition aus dem Buch Analysis, Leistungskurs, Gesamtausgabe, Ernst-Klett-Schulbuchverlag (Deutschland) 1991, Seite 41:
Eine Funktion x [mm] \mapsto [/mm] f(x) mit [mm] f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ [/mm] ... [mm] a_{1}x+a_{0}, a_{n} \not=0 ,n\in\IN, [/mm] deren Funktionsterm ein Polynom ist oder auf diese Form gebracht werden kann, heisst ganzrationale Funktion n-ten Grades. Das Schaubild von f heisst (für n>1) Parabel n-ter Ordnung.
Ich finde dieses Forum wirklich spannend!
Mit meinen besten Grüssen
dominik
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