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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 26.09.2006 | | Autor: | M.M. |
| Aufgabe | | Eine Polynomdivision f vierten Grades habe folgende Eigenschaften: Gf hat bei (0/0) einen Terrassenpunkt und bei 6 eine Nullstelle. Die Fläche zwischen Gf und der x-Achse hat den Inhalt 19,2. Bestimme f(x) und skizziere Gf. |
Hallo!
Mein Ansatz ist, dass man irgendwie die Konstanten wegbekommen muss =) und wenn bei (0/0) ein Terassenpunkt ist, dann ist f(o) = 0 und somit e=o, da die Steigung beim Sattelpunkt =0 ist, ist die 1. Ableitung =0, also f'(x)=0, -> d= 0. Da beim Sattelpunkt die notwendige Bedingung f''(x)=0 ist, fällt auch c weg. Dann hätten wir noch [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3. [/mm] Durch die Nullstelle (6/0) ist: [mm] 0=ax^4+bx^3 [/mm]
[mm] 0=x^2(ax^2+bx)
[/mm]
x1, 2=0
[mm] ax^2+bx=0 [/mm]
[mm] a6^2+6b=0
[/mm]
Mein Ansatz für die Integralfunktion ist 19,2= [mm] I[(a/5)x^5+(b/4)x^4]I
[/mm]
Aber wie kann ich beide Gleichungen nun verbinden um a und b herauszurechen? Und wie kann ich die Grenzen bestimmen. Ich weiß zwar schon 6 und 0, aber es kann doch noch mehr geben?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße, Marie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 26.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Marie!
Ich würde hier für die Grenzen der Flächenberechenung (Integralberechnung) die Grenzen $x_u \ = \ 0$ und $x_o \ = \ 6$ einsetzen.
Durch die Form $f(x) \ = \ a*x^4+b*x^3 \ = \ x^3*\left(a*x+b)$ ist auch klar, dass es lediglich zwei verschiedene Nullstellen geben kann, die wir ja auch kennen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 26.09.2006 | | Autor: | M.M. |
ok, also weiß ich, was die Grenzen sind, a und b krieg ich trotzdem nicht raus, man kann beide gleichungen doch nicht durch additionsverf. oder einsetzungsverf. berechen, oder?
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Hi, M.M.,
nach Loddars Hinweis ist ja klar, dass Du nicht zwei, sondern nur EINE Unbekannte hast, denn Dein Funktionsterm hat wegen der 2. Nullstelle (x=6) duch das Aussehen:
f(x) = [mm] a*x^{3}*(x [/mm] - 6)
Und nun musst Du nur noch a so bestimmen, dass die Fläche den vorgeschriebenen Inhalt hat!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 26.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Zwerglein,
ich glaube, das mit dem a stimmt so nicht, denn beim reinmultiplizieren hättest du 6a
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Di 26.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Herby,
> ich glaube, das mit dem a stimmt so nicht, denn beim
> reinmultiplizieren hättest du 6a
Und was soll dabei das Problem sein?
f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] - [mm] 6ax^{3} [/mm] ist doch ein "schöner" Funktionsterm!
Und vor allem: Der Graph hat bei T(0;0) einen Terrassenpunkt und bei x=6 eine Nullstelle. Alles wie verlangt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.M. |
Ich weiß ehrlich nicht, was ich jetzt machen soll. Wie kann ich denn eine Integralfunktion mit einer normalen Gleichung vierten Grades zusammenbringen? Kann mir bitte jemand helfen?
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Marie
Du hast jetzt einem Funktionsterm mit einer Variablen a, und zwar:
[mm] f(x)=ax^{4}+6ax³
[/mm]
Jeetzt weisst du, dass
[mm] \integral_{0}^{6}{f(x) dx}=[F(x)]_{0}^{6}=19,4 [/mm] sein soll.
Also brauchst du erstmal die Stammfunktion:
[mm] F(x)=\bruch{1}{5}ax^{5}+\bruch{4}{3}ax^{4}
[/mm]
Jetzt kannst du F(6)-F(0)=19,4 berechnen und damit dein a bestimmen.
Also:
[mm] \underbrace{\bruch{6^{5}}{5}a+\bruch{4*6^{4}}{3}a}_{=F(6)}-\underbrace{0}_{F(0)}=19,5
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.M. |
> [mm]f(x)=ax^{4}-6ax³[/mm]
Moment, aber wie komme ich darauf wenn es eigentlich heißt [mm] f(x)=ax^4+bx^3 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> > [mm]f(x)=ax^{4}-6ax³[/mm]
> Moment, aber wie komme ich darauf wenn es eigentlich heißt
> [mm]f(x)=ax^4+bx^3[/mm] ?
Sorry, Tippfehler. Ich korrigiere meine Antwort oben noch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.M. |
Ok, das hatte ich gar nicht gesehen =) ich meinte eigentlich, wie hast du das Verhältnis a =xb herausbekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Do 28.09.2006 | | Autor: | Walty |
Du hattest im Prinzip schon in deinem Ansatz, den du mit der fraeg schildertest diese Ersetzung drin
Du schriebst
Da beim Sattelpunkt die notwendige Bedingung f''(x)=0 ist, fällt auch c weg. Dann hätten wir noch $ [mm] ax^4 [/mm] $ + $ [mm] bx^3. [/mm] $ Durch die Nullstelle (6/0) ist: $ [mm] 0=ax^4+bx^3 [/mm] $
$ [mm] 0=x^2(ax^2+bx) [/mm] $
x1, 2=0
$ [mm] ax^2+bx=0 [/mm] $
==> [mm] a6^2+6b=0 [/mm] <==
bei [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3. [/mm] hast Du aber sogar eine dreifache Nullstelle [mm] x^3:
[/mm]
0= [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3. [/mm]
[mm] \gdw 0=x^3(ax+b)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^3=0 \vee [/mm] ax+b=0
wegen der Nullstelle bei [mm] x_{4}=6 [/mm] folgt unmittelbar durch Einsetzen b=-6a,
und der Rest ist schon detailliert beantwortet..
hth Walty
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