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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 13.03.2005 | | Autor: | MartinF |
Hallo
Ich habe ein paar Probleme mit den Funktionenscharen. Kann mir das jemand anhand folgender Aufgabe ein bisschen erklären?
f(x)=-k*x³+(k+1)*x
1. Zeigen Sie, dass sich alle Graphen in drei Punkten schneiden, und bestimmen Sie diese.
2. Bestimmung der Nullstellen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zu 1:
Du sollst zeigen, dass egal welcher Wert für k eingesetzt wird, alle Graphen durch drei gleiche Punkte gehen. Das kannst du machen, indem du für k zwei verschiedene Werte einsetzt und diese beiden Funktionen dann gleichsetzt.
k = 1
[mm] - x^{3} + 2 * x [/mm]
k = 2
[mm] - 2 * x^{3} + 3 * x [/mm]
[mm] - x^{3} + 2 * x = - 2 * x^{3} + 3 * x [/mm]
[mm] x^{3} = x [/mm]
Und das gilt für [mm] x_{1} [/mm] = 0, [mm] x_{2} [/mm] = 1 und [mm] x_{3} [/mm] = -1. Um die drei Punkte jetzt zu berechnen musst du die verschiedenen x-Werte nur noch in die Funktion einsetzten und deinen y-Wert ermitteln.
Zu 2:
[mm] f(x) = 0 [/mm]
[mm] - k * x^{3} + (k+1) * x = 0 [/mm]
[mm] - k * x^{2} + k + 1 = 0 [/mm]
[mm] x_{1,2} = \pm \wurzel{1/k + 1} [/mm]
Jetzt musst du für die x-Werte wieder die entsprechenden y-Werte brechnen und dann hast du's.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 13.03.2005 | | Autor: | MartinF |
Ich danke dir für deine Antwort. Ich habe die Aufgabe jetzt verstanden und kann jetzt besser mit Funktionenscharen umgehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 So 13.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, informix,
> > f(x)=-k*x³+(k+1)*x
> >
> > 2. Bestimmung der Nullstellen
> >
> hier zeigst du, dass die Nullstellen stets dieselben sind -
> unabhängig von k.
>
Dass das nicht stimmen kann, zeigt bereits der Fall k=0: Hier gibt's nämlich nur die Nullstelle x=0; dies ist auch für k=-1 die einzige Lösung, aber:
Für [mm] k\not=0 [/mm] kann man dann noch [mm] -k*x^{2} [/mm] +(k+1) = 0 setzen und erhält
[mm] x^{2}=\bruch{k+1}{k}.
[/mm]
Für -1 < k < 0 gibt's wieder keine weitere NS,
für k>0 oder auch k<-1 jedoch die von Flamina bereits bestimmten beiden zusätzlichen Nullstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 13.03.2005 | | Autor: | informix |
Hi, zwerglein,
> > > 2. Bestimmung der Nullstellen
> > >
> > hier zeigst du, dass die Nullstellen stets dieselben sind
> -
> > unabhängig von k.
> >
Das war gar nicht gefragt; ich hatte den Text der Aufgabe falsch im Kopf.
danke für den Hinweis.
> Dass das nicht stimmen kann, zeigt bereits der Fall k=0:
> Hier gibt's nämlich nur die Nullstelle x=0; dies ist auch
> für k=-1 die einzige Lösung, aber:
> Für [mm]k\not=0[/mm] kann man dann noch [mm]-k*x^{2}[/mm] +(k+1) = 0 setzen
> und erhält
> [mm]x^{2}=\bruch{k+1}{k}.
[/mm]
> Für -1 < k < 0 gibt's wieder keine weitere NS,
> für k>0 oder auch k<-1 jedoch die von Flamina bereits
> bestimmten beiden zusätzlichen Nullstellen.
>
>
Man soll einfach die (Anzahl der) Nullstellen in Abhängigkeit von k untersuchen. Aber das steht ja jetzt schon da. 
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Untersuchung einer Funktionenschar