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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Pause |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] fa(x)=\bruch{1}{a^2}*x^3+e^{-a}*x;x\in\IR, [/mm] a>0
Eine Firma stellt Babywindeln her. Diese bestehen aus übereinandergelegeten Schichten, deren Matereialdichte alle 0,1 mm Linear zunimmt. Durch die Funktion fa wird der Vorgang der Flüssigkeitsaufnahme in Abhängigkeit von der Materialkonstanten a im Interwall [mm] I=[x_E;x_N], [/mm] x>0 in guter Näherung beschrieben (dabei ist [mm] x_E [/mm] Extremstelle und [mm] x_N [/mm] Nullstelle von fa).
Es gilt für die Längeneinheiten auf den Koordinatenachsten:
x-Achse: Anzahl der Schichten
y-Achse: Saugfähigkeit innerhalb einer Schicht in ml pro Flächeneinheit.
Aufgabe 1: Fü welchen Wert der Materialkonstanten a existieren die meisten Schichten
Aufgabe 2: Für welchen werd der Materialkonstanten a kann im Intervall I die meiste Flüssigkeitsmenge pro flächeneinheit aufgenommen werden. |
wir hatten diese aufgabe im unterricht bereits angefangen und waren zur gleichung:
[mm] d(x)=x_N-x_E
[/mm]
also
[mm] d(a)=a*e^{\bruch{-a}{2}}(1-\wurzel{\bruch{1}{3}})
[/mm]
gekommen...
leider ist mir nicht mehr verständlich was das genau beschreibt bzw was mir das zur lösung von aufgabe 1 hilft. kann mir jemand das erklären? ich verstehe nicht wie mir das weiterhelfen soll.
vielen dank für die mühe, schon im vorraus
mfg
Matthias Gluth
Ps: Ich entschuldige mich für mögliche Rechtschreibfehler oder für Notationsfehler. bitte bescheid geben, wenn etwas gefunden wurde was dringend geändert werden muss, ich werd mich drum kümmern.
PPs: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Diese Aufgabe ist wirklich nicht sehr einfach zu verstehen.
Also, die Funktion gibt dir die Saugfähigkeit pro Schicht an, und zwar abhängig von der Anzahl der Schichten.
Betrachtet wird das im Intervall [mm] $[x_e;x_n]$. x_e [/mm] ist also die kleinste Anzahl an Schichten, für die die Formel gilt, und [mm] x_n [/mm] ist die größte Anzahl an Schichten.
Aufgabe 1 fragt nun, für welches a die meisten Schichten durch die Formel abgedeckt werden, das heißt, für welches a das Intervall am größten ist. Das heißt, für welches a ist [mm] $d=(x_n-x_e)$ [/mm] am größten?
Deine Aufgabe lautet nun: Bereichne die betreffende Nullstelle und das Extremum, jeweils abhägig von a.
Setze das in [mm] $d=(x_n-x_e)$ [/mm] ein, das sollte dann nur noch von a abhängig sein, kein x mehr!
Berechne von d die Ableitung, und damit das Maximum. So bekommst du das gesuchte a.
Zur 2. Aufgabe:
Ich denke, es geht hier um die Gesamtaufnahmefähigkeit der Windel, und die ist [mm] $x*f_a(x)$ [/mm] (Saugfähigkeit der Schicht mal Anzahl der Schichten)
Diese Formel wird ein oder mehrere Maxima haben, auf jeden Fall ein Maximum innerhalb der oben berechneten Grenzen. Berechne den x-Wert dieses Maximums.
Das Einsetzen in [mm] $x*f_a(x)$ [/mm] gibt dir dann die maximale Gesamtsaugfähigkeit innerhalb abhängig von a an.
Frage: Für welches a ist diese maximale Saugfähigkeit am größten? Also, nach a ableiten, und Extremum suchen.
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