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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Für k [mm] \in \IR [/mm] sei die Funktionenschar [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x) [/mm] = x * (ln(x)-k).
Zeige, dass die Graphen aller Funktionen [mm] f_{k} [/mm] zum Graphen der Funktion [mm] f_{0}(x) [/mm] = x * ln(x) ähnlich sind. Wie lautet jeweils der Streckfaktor? |
Hallo zusammen,
leider habe ich bei oben genannter Aufgabe keine Ahnung, wie ich ansetzen kann... Wenn man bei Funktionenscharen gemeinsame Punkte sucht, kann man ja einmal k1 und einmal k2 nehmen und gleichsetzen, aber nun soll man ja zeigen, dass sie ähnlich sind .... Irgendwie stehe ich da gerade auf dem Schlauch...
Würde mich über Anregungen freuen!
Vielen Dank schonmal im Voraus,
Pia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pia,
bist du sicher, dass die Gleichung der Funktionenschar stimmt? Was bedeutet bei euch, dass Graphen ähnlich sind? (Kannst du gegebenenfalls im Heft/Buch nachschlagen und die Definition abtippen?)
Danke!
Viele Grüße
Tobias
EDIT: Mit Angelas Antwort haben sich diese Fragen erübrigt! Insbesondere wird die Gleichung der Funktionenschar stimmen.
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> Für k [mm]\in \IR[/mm] sei die Funktionenschar [mm]f_{k}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{k}(x)[/mm] = x * (ln(x)-k).
> Zeige, dass die Graphen aller Funktionen [mm]f_{k}[/mm] zum Graphen
> der Funktion [mm]f_{0}(x)[/mm] = x * ln(x) ähnlich sind. Wie lautet
> jeweils der Streckfaktor?
> aber nun soll man ja zeigen,
> dass sie ähnlich sind .... Irgendwie stehe ich da gerade
> auf dem Schlauch...
Hallo,
ich denke eher, daß Du nicht auf dem Schlauch stehst, sondern nicht weißt, was damit gemeint ist, daß die Graphen ähnlich sind.
Es ist gemeint, daß für jedes k der Graph von [mm] f_k [/mm] eine "Vergrößerung oder Verkleinerung" von [mm] f_0 [/mm] ist, daß es also einen Streckfaktor s gibt, so daß
x * ln(x) = s* [mm] [\bruch{x}{s}*(ln(\bruch{x}{s}) [/mm] -k)].
Das s ist zu ermitteln, und es ist zu vermuten, daß es von k abhängen wird.
(Falls das k Dir Schwierigkeiten macht, kannst Du die Aufgabe ja erstmal für k=5 durchrechnen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
Dass es einen Streckfaktor geben soll, habe ich schon verstanden... Bei f(x) = [mm] x^2 [/mm] wäre das ja zum Beispiel einfach ein Faktor der davor steckt... Allerdings versteh ich nicht wie man das hierbei machen kann... Man hat doch keine Ahnung, an welcher Stelle zw an welchen Stellen ein Faktor eine Streckung bzw Stauchung bewirkt... ich weiß das zumindest nicht...
Ich kann leider auch nicht nachvollziehen, wie folgendes zustande kommt...
>
> x * ln(x) = s* [mm][\bruch{x}{s}*(ln(\bruch{x}{s})[/mm] -k)].
also mir ist klar, dass das s nun der Streckfaktor ist, aber ich weiß nicht, wie das zustande kommt...
Lg Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
leider habe ich gerade noch keine Zeit, deine eigentliche Frage zu beantworten. Falls sich kein anderer findet, der darauf eingeht, komme ich darauf noch zurück. Aber da ich gerade sehe, dass du online bist, schon mal so viel:
Wenn du zunächst einmal hinnimmst, dass du zeigen sollst, dass eine Zahl s existiert mit x * ln(x) = s* [mm][\bruch{x}{s}*(ln(\bruch{x}{s})[/mm] -k)]: Hast du eine Idee, wie du so eine Zahl s finden könntest? Vereinfache dazu zunächst die rechte Seite der Gleichung. Siehst du nun, wie man s wählen kann, damit die Gleichung gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Dass es einen Streckfaktor geben soll, habe ich schon
> verstanden... Bei f(x) = [mm]x^2[/mm] wäre das ja zum Beispiel
> einfach ein Faktor der davor steckt...
Das wäre eine Streckung in y-Richtung. Mit Ähnlichkeit der Graphen ist jedoch laut Angelas Antwort gemeint, dass die eine Funktion aus der anderen durch Streckungen in x-Richtung und in y-Richtung mit dem gleichen Streckfaktor hervorgeht.
> Allerdings versteh
> ich nicht wie man das hierbei machen kann... Man hat doch
> keine Ahnung, an welcher Stelle zw an welchen Stellen ein
> Faktor eine Streckung bzw Stauchung bewirkt... ich weiß
> das zumindest nicht...
Gemeint (oder hier ausreichend) sind Streckungen mit Streckfaktor s von den Achsen des Koordinatensystems weg. (Es entsteht insgesamt eine (zentrische) Streckung mit dem Nullpunkt als Streckzentrum mit Streckfaktor s.)
> Ich kann leider auch nicht nachvollziehen, wie folgendes
> zustande kommt...
> >
> > x * ln(x) = s* [mm][\bruch{x}{s}*(ln(\bruch{x}{s})[/mm] -k)].
> also mir ist klar, dass das s nun der Streckfaktor ist,
> aber ich weiß nicht, wie das zustande kommt...
Sei durch $f(x)$ eine beliebige Funktion gegeben.
Wie sieht dann die um den Streckfaktor s in y-Richtung gestreckte Funktion aus? $s*f(x)$.
Wie sieht die um den Streckfaktor s in x-Richtung gestreckte Funktion aus? [mm] $f(\bruch{x}{s})$.
[/mm]
Wie sieht die in beide Richtungen gleichzeitig um den Streckfaktor s gestreckte Funktion aus? [mm] $s*f(\bruch{x}{s})$.
[/mm]
Wenn man also eine Funktion [mm] $f_k$ [/mm] aus der Aufgabe um den Streckfaktor s in beide Richtungen streckt, erhält man die Funktion gegeben durch [mm] $g_{k,s}(x)=s*f_k(\bruch{x}{s})=s*[\bruch{x}{s}*(\ln(\bruch{x}{s})-k)]$.
[/mm]
Wir wollen zeigen, dass [mm] $f_0$ [/mm] aus [mm] $f_k$ [/mm] durch eine Streckung in beide Richtungen mit dem gleichen Streckfaktor s hervorgeht. Also müssen wir ein s finden, so dass [mm] $f_0(x)=g_{k,s}(x)$ [/mm] gilt. Die Gleichung bedeutet nichts anderes als [mm] $x*\ln(x)=s*[\bruch{x}{s}*(\ln(\bruch{x}{s})-k)]$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 So 28.02.2010 | | Autor: | Pia90 |
> Wie sieht dann die um den Streckfaktor s in y-Richtung
> gestreckte Funktion aus? [mm]s*f(x)[/mm].
> Wie sieht die um den Streckfaktor s in x-Richtung
> gestreckte Funktion aus? [mm]f(\bruch{x}{s})[/mm].
> Wie sieht die in beide Richtungen gleichzeitig um den
> Streckfaktor s gestreckte Funktion aus? [mm]s*f(\bruch{x}{s})[/mm].
Ahh, jetzt hab ichs verstanden :) Ich glaub mir fehlte da das kleine Detail der Streckung in x-Richtung! Jetzt macht das auch für mich einen Sinn :)
Vielen, vielen Dank!!!
Dann muss ich die Gleichung jetzt einfach nur nach s auflösen und die Aufgabe ist im Grunde gelöst, da ich den Streckfaktor habe?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 01.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Dann muss ich die Gleichung jetzt einfach nur nach s
> auflösen und die Aufgabe ist im Grunde gelöst, da ich den
> Streckfaktor habe?!
Genau! (Das nach s auflösen ist viel einfacher als der Weg, den ich vorgeschlagen hatte.)
Findest du ein $s>0$ (das hatte ich bisher vergessen: damit s ein Streckfaktor ist, muss $s>0$ sein), dass der Gleichung genügt, so hast du die Behauptung bewiesen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Pia90 |
> Findest du ein [mm]s>0[/mm] (das hatte ich bisher vergessen: damit s
> ein Streckfaktor ist, muss [mm]s>0[/mm] sein), dass der Gleichung
> genügt, so hast du die Behauptung bewiesen!
Ich habe jetzt raus [mm] s=e^{-k} [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0
Das bedeutet ja im Grunde, dass s immer größer 0 ist, oder irre ich mich da? Aber warum habe ich die Behauptung genau dann bewiesen, wenn s>0 ist?
LG Pia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!
Sorry, wenn ich hier nerve, es gibt noch einen zweiten Aufgabenteil und zwar:
Welche entsprechende Aussage kann man über die Funktionenschar [mm] g_{k} [/mm] mit [mm] g_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{ln(x)-k}{x} [/mm] machen?
Ich habe da jetzt wieder den Streckfaktor hinzugefügt und komme dementsprechend auf [mm] s^2* \bruch{ln(\bruch{x}{s}}{x} [/mm]
Versteh ich die Aufgabe richtig, dass ich das jetzt wieder mit [mm] g_{0} [/mm] gleichsetzen soll?
LG Pia
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> Vielen, vielen Dank!
>
> Sorry, wenn ich hier nerve, es gibt noch einen zweiten
> Aufgabenteil und zwar:
> Welche entsprechende Aussage kann man über die
> Funktionenschar [mm]g_{k}[/mm] mit [mm]g_{k}(x)[/mm] = [mm]\bruch{ln(x)-k}{x}[/mm]
> machen?
>
> Ich habe da jetzt wieder den Streckfaktor hinzugefügt und
> komme dementsprechend auf [mm]s^2* \bruch{ln(\bruch{x}{s}) \red{-k}}{x}[/mm]
> Versteh ich die Aufgabe richtig, dass ich das jetzt wieder
> mit [mm]g_{0}[/mm] gleichsetzen soll?
Hallo,
wenn die Aufgabe lautet, daß Du nachschauen sollst, ob der Graph von [mm] g_k [/mm] ähnlich ist zu dem von [mm] g_0, [/mm] dann: ja.
Die Frage ist, ob man auch hier so ein s findet.
Gruß v. Angela
>
> LG Pia
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