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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 So 22.04.2007 | | Autor: | molamix |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionenschar mit [mm]f_p(x)=px + (1-p)x^2[/mm] [mm](p\in\IR) [/mm]
und die Funktion mit [mm] f(x) = \bruch{1}{x} [/mm]
Für welche beiden Parameter p schneiden sich die Schaubilder von [mm]f_p[/mm] und f orthogonal (senkrecht) |
Ich hab dann die Ableitungen der Funktionen errechnet
fp(x) = px+(1-p)x² f(x) = 1/x
f'p(x) = p+(1-p)*2x f'(x) = -1/x²
= p+2x-2px
Orthogonalitätsdingsbedingung:
(p + 2x - 2px) * (-1/x²) = -1 | *x²
-p + -2x + 2px = -1x²
Aber ich weis nicht ob das richtig ist und ob ich nicht sowieso überhaupt auf dem falschen Weg bin?
Und falls ich ja doch richtig liegen würde, wie mach ich weiter, ich hab schon
rumprobiert, aber ich schaffs einfach nicht, nach P aufzulösen.
Danke an alle die sich meine Aufgabe annehmen. Ich hätt sie gern in TeX-Formel geschrieben
wegen der Übersichtlichkeit, aber ich habs einfach nicht so hinbekommen, wie ich wollte.
Muss mich damit nochmal mehr beschäftigen.
Und ich hoff ich habs ins richtige Forum reingetan, ansonsten sry, ich bin neu hier. ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo molamix,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Grundsätzlich ist Dein Ansatz nicht verkehrt. Aber Du erhältst hier ja eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Von daher solltest Du zunächst die Schnittstellen berechnen durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
[mm] $f_p(x) [/mm] \ = \ f(x)$
[mm] $p*x+(1-p)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\left| \ *x$
$p*x^2+(1-p)*x^3 \ = \ 1$
$(1-p)*x^3+p*x^2-1 \ = \ 0$
Hier scheint eine Lösung $x \ = \ 1$ zu sein. Nun also die [[Polynomdivision]] $\left[(1-p)*x^3+p*x^2-1\right] \ : \ (x-1) \ = \ ...$ durchführen.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 24.04.2007 | | Autor: | molamix |
Aber natürlich.. aus dem Blickwinkel hab ichs noch gar nicht betrachtet, hab mich so darauf
fixiert nach P aufzulösen.
Aber die Polynomdivision ist gar nicht mal so einfach (jedenfalls für mich).
Ich hab jetzt 1 Stunde rumprobiert und kam auf kein richtiges Ergebnis.
Hatte immer Rest und das haben wir im Unterricht noch nie gemacht.
Aber egal, so hab ichs bisher gerechnet.
[mm]
\left[ \left( 1 - p \right) * x^3 + p*x^2 - 1 \right][/mm] * [mm]( x - 1) = ( 1 - p ) * x^2 + x [/mm]
[mm] + \left[ ( 1 - p ) * x^3 - ( 1 + p ) * x^2 \right] [/mm]
[mm]x^2[/mm]
ist jetzt ein bisschen unübersichtlich geraten, aber was soll ich machen, wenn ich nur noch x² habe?
fang ich an, das zu verrechnen, steht dann da
[mm] x^2 - 1 * x [/mm]
Und ich kann das -1x nicht mit der -1 die oben im Polynom steht verrechnen, bzw es kommt dann Rest raus. Ist alles ein bisschen schwer zu erklären.
Dann ist mir noch etwas anderes eingefallen.
Würde das gehen, wenn ich es mit tan90° gleichsetze? Hab das mit den 2. Ableitungen der beiden Funktionen gemacht.
Hab das so gerechnet:
[mm]
\tan 90° =
\begin{vmatrix}
\bruch{ ( 2 - 2 p ) - \bruch{1}{x^3} }{ 1 + ( 2 - 2 p ) * ( \bruch{1}{x^3} }
\end{vmatrix}
[/mm]
am Ende hat ich dann
[mm]
\tan 90° =
\begin{vmatrix}
\bruch{ ( 2 - 2 p ) - \bruch{1}{2 - 2 p} }{ 2 }
\end{vmatrix}
[/mm]
und das x hatte auch weg. Nur ich weis wieder nicht ganz genau wie ich dann
weitermachen sollte und vor allem obs überhaupt richtig ist. War nur eine kleine fixe Idee
beim rumprobieren.
Aber vielen Danke für deine Hilfe udn vor allem so schnelle Antwort =)
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Hallo molamix,
bei deiner Polynomdivision ist etwas im Argen 
[mm] $\left((1-p)x^3+px^2-1\right):(x-1)=(1-p)x^2+(x+1)=(1-p)x^2+x+1$
[/mm]
[mm] $\underline{-\left((1-p)x^3-(1-p)x^2\right)}$
[/mm]
[mm] $x^2-1$
[/mm]
[mm] $\underline{-(x^2-1)}$
[/mm]
$0$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mi 25.04.2007 | | Autor: | molamix |
Hi,
vielen Dank @schachuzipus, manchmal hat man die Lösung so vor der Nase
und sieht sie nicht ;) Danke nochmal.
Ich hab jetzt weitergerechnet, Polynomdivision usw. Hab diese Lösung in
die Mitternachtsformel eingefügt und dort dann [mm]x_2 / 3[/mm] rausbekommen.
[mm]x_1[/mm] müsste ja 0 sein. Oder?
[mm]
x_{2 / 3} = \bruch{- 1 \pm \wurzel{4 p - 3} }{2 * ( 1 - p) }
[/mm]
Wie mach ich weiter und vor allem welchen x-Wert setze ich ein? Ich hab mit
[mm]x_{2 / 3}[/mm] weitergerechnet, um zu sehen auf was ich komme, aber
da kam nur ein überkomplizierter y-Wert heraus.
[mm]
\begin{matrix} y_2&=& \bruch{p - 1 + \wurzel{4 p - 3} }{2 \cdot{} ( 1 - p ) } + \left[ \bruch{ - 1 + \wurzel{4p - 3} }{2 \cdot{} ( 1 - p )} \right]^2 \cdot{} ( 1 - p ) \\ \ & =& \bruch{p - 1 + \wurzel{4 p - 3} }{2 \cdot{} ( 1 - p ) } + \bruch{1 + 4p - 3 \cdot{} ( 1 - p )}{2 \cdot{} ( 1 - p )} \\ \ & =& \bruch{p - 1 + \wurzel{4 p - 3} + 1 + 4p - 3 \cdot{} (1 - p)}{2 \cdot{} ( 1 - p )} \\ \ & =& \wurzel{4p - 3} + 3p - 3 \end{matrix}
[/mm]
S[mm]
\left( \bruch{- 1 - \wurzel{4 p - 3} }{2 * ( 1 - p) }\ |\ \wurzel{4p - 3} + 3p - 3 \right)
[/mm]
Da muss ich doch irgendwo einen Fehler gemacht haben?
Nur ich selbst finde keinen :(
Und auch weis ich gar nicht genau, wie ich überhaupt bei der Aufgabe vorgehen soll.
Sagen wir ich hab die SChnittpunkte (abhängig von p) der beiden Funktionen. Muss ich
dann per Orthogonalitätsbedingung weitermachen und dabei den davor gefunden
x-Wert verwenden?
Ich weis Fragen über Fragen, ich hoffe nur nicht allzu dumme.
lG,
mola.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo molamix!
Nach den Funktionswerten ist hier doch gar nicht gefragt. Zudem wärest Du um ein Vielfaches schneller, wenn Du in die andere Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] einsetzen würdest.
Du musst nun zu den 3 ermittelten Schnittstellen jeweils die beiden Ableitungen [mm] $f_p'(x_s)$ [/mm] und [mm] $f'(x_s)$ [/mm] ermitteln.
Damit die beiden Kurven dort jeweils senkrecht stehen, muss dort gelten:
[mm] $f_p'(x_s)*f'(x_s) [/mm] \ = \ -1$
Diese Gleichung ist dann jweils nach $p \ = \ ...$ umzustellen.
Hier mal die ersten Schritte für die Schnittstelle [mm] $x_{s_1} [/mm] \ = \ 1$
[mm] $f_p'(1) [/mm] \ = \ p+2*(1-p)*1 \ = \ 2-p$
$f'(1) \ = \ [mm] -\bruch{1}{1^2} [/mm] \ = \ -1$
[mm] $\Rightarrow$ $f_p'(1) [/mm] * f'(1) \ = \ (2-p)*(-1) \ = \ -1$
[mm] $\gdw$ $p_1 [/mm] \ = \ ...$
Und das dann auch noch für die anderen beiden Schnittstellen [mm] $x_{s_{2/3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-1\pm\wurzel{4p-3}}{2*(1-p)}$ [/mm] analog berechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 26.04.2007 | | Autor: | molamix |
natürlich..! So wie du das jetzt sagst, klingt es wie das logischste der Welt.. jetzt ist mir bei den Ableitungen
auch nochmal ein extra Kronleuchter aufgegangen.
Danke.
Ich mach mich mal ans weiterrechnen. Nur hab ich noch nicht verstanden,
wie du bei dir auf
$ [mm] f_p'(1) [/mm] \ = \ [mm] p+2\cdot{}(1-p)\cdot{}1 [/mm] \ = \ { [mm] \color{OliveGreen} [/mm] 2-p } $
kommst.
Ich hab bei mir da immer [mm] p + 2 - p [/mm]
lG
mola.
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Hallo Max,
> Ich mach mich mal ans weiterrechnen. Nur hab ich noch nicht
> verstanden,
> wie du bei dir auf
> [mm]f_p'(1) \ = \ p+2\cdot{}(1-p)\cdot{}1 \ = \ { \color{OliveGreen} 2-p }[/mm]
>
> kommst.
>
> Ich hab bei mir da immer [mm]p + 2 - p[/mm]
>
> lG
> mola.
>
Du hast dich beim Ausmultilizieren der Klammer verguckt
[mm] $p+2\cdot{}(1-p)\cdot{}1=p+\red{2}\cdot{}\green{(1-p)}=p+\red{2}\cdot{}\green{1}-\red{2}\cdot{}\green{p}=p+2-2p=2-p$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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