Funktionenreihe stetige Grensf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 26.03.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Es soll die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^2+n}{n^2} [/mm] betrachtet werden.
a) zeigen Sie, dass die Reihe in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] absolut konvergiert.
b) zeigen Sie, dass die Reihe punktweise gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert. |
Also Teil a ist kein Problem aber bei Teil b weiß ich nicht so recht weiter.
Ich kenne bisher nur das
Stetigkeitskriterium:
[mm] f_n [/mm] stetig und beschränkt und [mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_0 [/mm] s.d [mm] \forall [/mm]
[mm] \mu [/mm] > [mm] n_0 [/mm] | [mm] \summe_{n=n_0+1}^{\mu} f_n(x) [/mm] | < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in \IR \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] konvergiert gegen eine stetige Grenzfunktion
und das Weierstrass-Kriterium:
[mm] f_n [/mm] stetig [mm] a_n>0 [/mm] und [mm] |f_n|
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}f_n [/mm] konvergiert normal gegen eine stetige Grenzfunktion
Da ich nicht genau weiß wie ich das erste Kriterium anwenden soll (außer mithilfe von Cauchykriterium, dass besagt, dass wenn [mm] f_n [/mm] stetig, beschränkt und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}f_n [/mm] normal konvergiert der Teil mit dem [mm] \varepsilon [/mm] >0 folgt)
Aber das hilft mir ja nicht weiter, denn die Reihe konvergiert doch nicht normal oder?
und das Weierstraß-Kriterium hilft mir auch nicht, weil [mm] \summe |f_n| [/mm] divergiert dann kann ich doch gar keine Folge finden, die größer als [mm] |f_n| [/mm] ist und deren Reihe konvergiert
Naja und wenn die Reihe nicht absolut konvergiert kann sie doch erst Recht nicht normal konvergieren oder?
Nächste Idee währe die Grenzfunktion zu berechnen und zu zeigen, dass die stetig ist aber ich weiß nicht wie ich auf die Grenzfunktion kommen soll
wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe
danke schon mal fürs lesen 
habe idese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es soll die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^2+n}{n^2}[/mm]
> betrachtet werden.
> a) zeigen Sie, dass die Reihe in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm]
> absolut konvergiert.
> b) zeigen Sie, dass die Reihe punktweise gegen eine
> stetige Grenzfunktion konvergiert.
> Also Teil a ist kein Problem aber bei Teil b weiß ich
> nicht so recht weiter.
> Ich kenne bisher nur das
> Stetigkeitskriterium:
> [mm]f_n[/mm] stetig und beschränkt und [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_0[/mm]
> s.d [mm]\forall[/mm]
> [mm]\mu[/mm] > [mm]n_0[/mm] | [mm]\summe_{n=n_0+1}^{\mu} f_n(x)[/mm] | < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in \IR \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}f_n[/mm]
> konvergiert gegen eine stetige Grenzfunktion
> und das Weierstrass-Kriterium:
> [mm]f_n[/mm] stetig [mm]a_n>0[/mm] und [mm]|f_n|
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}f_n[/mm] konvergiert normal
> gegen eine stetige Grenzfunktion
>
> Da ich nicht genau weiß wie ich das erste Kriterium
> anwenden soll (außer mithilfe von Cauchykriterium, dass
> besagt, dass wenn [mm]f_n[/mm] stetig, beschränkt und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}f_n[/mm] normal konvergiert der Teil mit
> dem [mm]\varepsilon[/mm] >0 folgt)
>
> Aber das hilft mir ja nicht weiter, denn die Reihe
> konvergiert doch nicht normal oder?
Ich wuerde sagen, sie konvergiert normal. Aber es geht auch einfacher, siehe unten.
> und das Weierstraß-Kriterium hilft mir auch nicht, weil
> [mm]\summe |f_n|[/mm] divergiert dann kann ich doch gar keine Folge
> finden, die größer als [mm]|f_n|[/mm] ist und deren Reihe
> konvergiert
>
> Naja und wenn die Reihe nicht absolut konvergiert kann sie
> doch erst Recht nicht normal konvergieren oder?
Doch, kann sie (wenn ich mich grad nicht vertue).
> Nächste Idee währe die Grenzfunktion zu berechnen und zu
> zeigen, dass die stetig ist aber ich weiß nicht wie ich auf
> die Grenzfunktion kommen soll
Das geht hier mit nem kleinen Trick ganz einfach! Und zwar kannst du die Reihe als die Summe der beiden konvergenten Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^2}{n^2}[/mm] (gleich [mm] $x^2 [/mm] c$ mit $c := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{1}{n^2}$) [/mm] und [mm]d := \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{n}{n^2}[/mm] (konstant) schreiben: Also ist die Grenzfunktion gerade $c [mm] x^2 [/mm] + d$ mit reellen Konstanten $c, d$!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Es soll die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{x^2+n}{n^2}[/mm]
> > betrachtet werden.
> > a) zeigen Sie, dass die Reihe in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm]
> > absolut konvergiert.
> > b) zeigen Sie, dass die Reihe punktweise gegen eine
> > stetige Grenzfunktion konvergiert.
> > Also Teil a ist kein Problem aber bei Teil b weiß ich
> > nicht so recht weiter.
> > Ich kenne bisher nur das
> > Stetigkeitskriterium:
> > [mm]f_n[/mm] stetig und beschränkt und [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_0[/mm]
> > s.d [mm]\forall[/mm]
> > [mm]\mu[/mm] > [mm]n_0[/mm] | [mm]\summe_{n=n_0+1}^{\mu} f_n(x)[/mm] | < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> > x [mm]\in \IR \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}f_n[/mm]
> > konvergiert gegen eine stetige Grenzfunktion
> > und das Weierstrass-Kriterium:
> > [mm]f_n[/mm] stetig [mm]a_n>0[/mm] und [mm]|f_n|
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}f_n[/mm] konvergiert normal
> > gegen eine stetige Grenzfunktion
> >
> > Da ich nicht genau weiß wie ich das erste Kriterium
> > anwenden soll (außer mithilfe von Cauchykriterium, dass
> > besagt, dass wenn [mm]f_n[/mm] stetig, beschränkt und
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}f_n[/mm] normal konvergiert der Teil mit
> > dem [mm]\varepsilon[/mm] >0 folgt)
> >
> > Aber das hilft mir ja nicht weiter, denn die Reihe
> > konvergiert doch nicht normal oder?
>
> Ich wuerde sagen, sie konvergiert normal.
Sorry, da hab ich mich vertan: sie konvergiert nicht normal!
> > Naja und wenn die Reihe nicht absolut konvergiert kann sie
> > doch erst Recht nicht normal konvergieren oder?
>
> Doch, kann sie (wenn ich mich grad nicht vertue).
Sorry, hab mich vertan :(
Der Rest sollte aber schon stimmen... :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 26.03.2006 | | Autor: | neli |
gut dann habe ich es glaub ich
die beiden Teil Reihen konvergieren beide nach Leibnitz und den Grenzwert bezeichne ich dann mit c,d und meine Grenzfunktion ist dann ein polynom und somit stetig
richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> gut dann habe ich es glaub ich
>
> die beiden Teil Reihen konvergieren beide nach Leibnitz und
> den Grenzwert bezeichne ich dann mit c,d und meine
> Grenzfunktion ist dann ein polynom und somit stetig
> richtig?
Genau ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
(Wobei die Reihe ueber [mm] $(-1)^n \frac{1}{n^2}$ [/mm] sogar absolut konvergiert.)
LG Felix
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