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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Man zeige, das die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^2} [/mm] gleichmäßig konvergiert!
Konvergiert die Reihe der Ableitungen der Summanden dieser Reihe auf ganz R zumindest punktweise? |
kann mir hier jemand weiter helfen?
der erste punkt ist leicht. durch nach oben abschätzen erhält man eine absolut konvergente Reihe --> gleichmäßig konvergent.
bei der reihe der ableitung tu ich mir jetzt schwer. wie geht man da genau vor?
also ich hab mal abgeleitet, da kommt raus:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(nx)}{n}
[/mm]
muss ich mir da jetzt die reihe der suprema ansehen oder etwas in der art?
der cosinus kann ja alles zwischen -1 und 1 annehmen. d.h. im maximalen fall hat man hier die harmonische reihe 1/n und die divergiert. aber eine nach oben abgeschätzte divergente reihe bringt mir ja nix. oder?
danke im voraus
grüße
felix
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> Man zeige, das die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^2}[/mm]
> gleichmäßig konvergiert!
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> Konvergiert die Reihe der Ableitungen der Summanden dieser
> Reihe auf ganz R zumindest punktweise?
> kann mir hier jemand weiter helfen?
> der erste punkt ist leicht. durch nach oben abschätzen
> erhält man eine absolut konvergente Reihe -->
> gleichmäßig konvergent.
>
richtig
> bei der reihe der ableitung tu ich mir jetzt schwer. wie
> geht man da genau vor?
> also ich hab mal abgeleitet, da kommt raus:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(nx)}{n}[/mm]
> muss ich mir da
> jetzt die reihe der suprema ansehen oder etwas in der art?
> der cosinus kann ja alles zwischen -1 und 1 annehmen. d.h.
> im maximalen fall hat man hier die harmonische reihe 1/n
> und die divergiert.
dann setzt du x=0 ein und schon ist die Frage, ob die Reihe für jedes feste x konvergiert, beantwortet
> aber eine nach oben abgeschätzte
> divergente reihe bringt mir ja nix. oder?
>
> danke im voraus
> grüße
> felix
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