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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, was ist [mm] $C_0^{\infty}(\Omega)$?
[/mm]
Gibts da auch eine Norm zu?
Da sind welce Funktionen drin? |
Ich habe es nicht herausfinden können, leider.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, was ist [mm]C_0^{\infty}(\Omega)[/mm]?
ich kenne [mm] $C_0(\Omega):=\{f: \Omega \to \IR,\;\;f \text{ ist stetig und } : \forall \epsilon > 0: \{\omega \in \Omega: |f(\omega)| \ge \epsilon\} \text{ ist kompakt}\}$
[/mm]
als die Menge aller "im Unendlichen verschwindenen stetigen Funktionen".
Demnach sollte wohl [mm] $C_0^\infty(\Omega)$ [/mm] die Menge "aller auf
[mm] $\Omega$ [/mm] definierten, unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die im
unendlichen verschwinden" sein:
[mm] $$C_0^\infty(\Omega)=\{f: \Omega \to \IR,\;\;f \text{ ist unendlich oft differenzierbar, und} : \forall \epsilon > 0: \{\omega \in \Omega: |f(\omega)| \ge \epsilon\} \text{ ist kompakt}\}$$
[/mm]
Beachte: Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] braucht in [mm] $C_0^\infty$ [/mm] nicht mehr erwähnt
werden, denn eine diff'bare Funktion ist insbesondere stetig.
> Gibts da auch eine Norm zu?
Na hör' mal: Solche Fragen kannst Du Dir auch selbst beantworten. Ist
vielleicht [mm] $C_0^\infty(\Omega)$ [/mm] ein Unterraum eines anderen normierten
Raums? Welche Funktionenräume kennst Du denn? [mm] $C(\Omega)$ [/mm] (die
Menge aller auf [mm] $\Omega$ [/mm] definierten und stetigen Funktionen)
ist doch ein Vektorraum. [mm] $C^b(\Omega)$ [/mm] (die Menge aller auf [mm] $\Omega$ [/mm]
definierten und beschränkten Funktionen) ist doch ein Unterraum
davon, also insbesondere auch ein Vektorraum, und mit der
Supremumsnorm versehen ist [mm] $C^b(\Omega)$ [/mm] doch ein normierter Raum.
> Da sind welce Funktionen drin?
Siehe oben - jedenfalls denke ich, dass das so stimmt.
Gruß,
Marcel
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