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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 24.11.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | 1)Zeigen Sie: [mm] U_d [/mm] ist ein UVR von [mm] \IR[x] [/mm] , d [mm] \le [/mm] Grad
2)Zeigen Sie ebenfalls dass der Schnitt über [mm] \bigcap_{d\in \IN}U_d [/mm] wieder einen UVR bildet. Hinweis: Isomorphismus zwischen zwei UVR. |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht ganz verstehe was ich machen soll.
Zu 1: Es gilt ja zu zeigen das der UVR nicht leer ist, Teilmenge von R[x], und die Abgeschlossenheit der Addition und Skalarmultiplikation.
Meine Idee: Der vektorraum ist nicht leer da aufjedenfall d=0 drin ist also [mm] a_0*x^0, a\not=0 [/mm]
Teilmenge ist es er auch da R[x] alle "Grad" enthält und [mm] U_d [/mm] nur die bis zu einem bestimmten Grad. also [mm] R[x]=\summe_{i=0}^{d}p_i*x_i+\summe_{k=d+1}^{Grad}p_k*x_k
[/mm]
R[x]= [mm] U_d [/mm] + [Rest]
also Teilmenge.
Die Abgeschossenheit
(p+q)(x)= [mm] \summe_{i=0}^{d}(p_i+q_i)*x_i [/mm] + [mm] \summe_{k=d+1}^{Grad} (p_k+q_k)*x_k) [/mm] und da d kleiner gleich d und R[x] Vektorraum fällt der zweite teil weg und es Gilt die Abgeschossenheit. Man kann ja auch sagen das das [mm] x^d+x^d=2*x^d [/mm] ist also dass sich der Grad nicht ändert, und somit aus dem Vektorraum fliegt.
zu 2) Hier hab ich nur: [mm] K:={[U_d|d\in \IN]} [/mm] ein UVR(Aufgabe1) und [mm] S=\bigcap_{d\in \IN}U_d [/mm]
Sei u, v [mm] \in [/mm] S und k,l [mm] \in \IZ [/mm] dann gilt u,v [mm] \in U_d [/mm] deshalb liegt auch k*u+l*v in [mm] U_d [/mm] (da [mm] U_d [/mm] Vekorraum), für alle d [mm] \in [/mm] N, daraus folgt ja das S wieder ein Untervektorraum ist das er nicht Leer [mm] ist(U_d [/mm] liegt drin) er ist teilmenge von R[x], und es gilt eben das Distributivgesetz.
Aber das ist ja kein Isomorphismus zwischen zwei [mm] U_d [/mm] 's, lieg ich falsch oder muss ich anders ansetzten?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> 1)Zeigen Sie: [mm]U_d[/mm] ist ein UVR von [mm]\IR[x][/mm] , d [mm]\le[/mm] Grad
>
> 2)Zeigen Sie ebenfalls dass der Schnitt über [mm]\bigcap_{d\in \IN}U_d[/mm]
> wieder einen UVR bildet. Hinweis: Isomorphismus zwischen
> zwei UVR.
So ist das nicht zu verstehen. Was soll d [mm]\le[/mm] Grad bedeuten ? Wie ist [mm] U_d [/mm] definiert ?
Ich vermute: [mm] U_d [/mm] ist die Menge aller Polynome mit Grad [mm] \le [/mm] d.
Dann macht für mich aber der HInweis zu 2) keinen Sinn.
FRED
>
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> Hallo,
>
> ich habe mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht ganz
> verstehe was ich machen soll.
>
> Zu 1: Es gilt ja zu zeigen das der UVR nicht leer ist,
> Teilmenge von R[x], und die Abgeschlossenheit der Addition
> und Skalarmultiplikation.
>
> Meine Idee: Der vektorraum ist nicht leer da aufjedenfall
> d=0 drin ist also [mm]a_0*x^0, a\not=0[/mm]
>
> Teilmenge ist es er auch da R[x] alle "Grad" enthält und
> [mm]U_d[/mm] nur die bis zu einem bestimmten Grad. also
> [mm]R[x]=\summe_{i=0}^{d}p_i*x_i+\summe_{k=d+1}^{Grad}p_k*x_k[/mm]
> R[x]= [mm]U_d[/mm] + [Rest]
>
> also Teilmenge.
>
> Die Abgeschossenheit
> (p+q)(x)= [mm]\summe_{i=0}^{d}(p_i+q_i)*x_i[/mm] +
> [mm]\summe_{k=d+1}^{Grad} (p_k+q_k)*x_k)[/mm] und da d kleiner
> gleich d und R[x] Vektorraum fällt der zweite teil weg und
> es Gilt die Abgeschossenheit. Man kann ja auch sagen das
> das [mm]x^d+x^d=2*x^d[/mm] ist also dass sich der Grad nicht
> ändert, und somit aus dem Vektorraum fliegt.
>
> zu 2) Hier hab ich nur: [mm]K:={[U_d|d\in \IN]}[/mm] ein
> UVR(Aufgabe1) und [mm]S=\bigcap_{d\in \IN}U_d[/mm]
>
> Sei u, v [mm]\in[/mm] S und k,l [mm]\in \IZ[/mm] dann gilt u,v [mm]\in U_d[/mm]
> deshalb liegt auch k*u+l*v in [mm]U_d[/mm] (da [mm]U_d[/mm] Vekorraum), für
> alle d [mm]\in[/mm] N, daraus folgt ja das S wieder ein
> Untervektorraum ist das er nicht Leer [mm]ist(U_d[/mm] liegt drin)
> er ist teilmenge von R[x], und es gilt eben das
> Distributivgesetz.
>
> Aber das ist ja kein Isomorphismus zwischen zwei [mm]U_d[/mm] 's,
> lieg ich falsch oder muss ich anders ansetzten?
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß Mike
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:39 So 25.11.2012 | | Autor: | MrPan |
> > 1)Zeigen Sie: [mm]U_d[/mm] ist ein UVR von [mm]\IR[x][/mm] , d [mm]\le[/mm] Grad
> >
> > 2)Zeigen Sie ebenfalls dass der Schnitt über [mm]\bigcap_{d\in \IN}U_d[/mm]
> > wieder einen UVR bildet. Hinweis: Isomorphismus zwischen
> > zwei UVR.
>
>
> So ist das nicht zu verstehen. Was soll d [mm]\le[/mm] Grad
> bedeuten ? Wie ist [mm]U_d[/mm] definiert ?
>
> Ich vermute: [mm]U_d[/mm] ist die Menge aller Polynome mit Grad [mm]\le[/mm]
> d.
Tut mir leid, du hast völlig recht, ich komm mit den Formeleditor noch nicht so zu recht, Grad kleiner gleich d ist gemeint. R[x] ist der Vektorraum der reelen polynome.
>
> Dann macht für mich aber der HInweis zu 2) keinen Sinn.
Ach wie dumm ich sollte noch mal durchlesen was ich poste, es tut mir leid
Die Frage ist ob der Schnitt über alle [mm] U_d [/mm] einen UVR bildet, und man soll das beweisen via Isomorphismus zwischen dem Schnitt und einen bestimmten Vektorraum der isomorph ist. Dann ist mein Lösungansatz auch falsch.
Ich hab jetzt aber auch keine Idee welchen Vektorraum ich suchen soll.
Danke für deine Hilfe!
Gruß mike
>
> FRED
> >
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> > Hallo,
> >
> > ich habe mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht ganz
> > verstehe was ich machen soll.
> >
> > Zu 1: Es gilt ja zu zeigen das der UVR nicht leer ist,
> > Teilmenge von R[x], und die Abgeschlossenheit der Addition
> > und Skalarmultiplikation.
> >
> > Meine Idee: Der vektorraum ist nicht leer da aufjedenfall
> > d=0 drin ist also [mm]a_0*x^0, a\not=0[/mm]
> >
> > Teilmenge ist es er auch da R[x] alle "Grad" enthält und
> > [mm]U_d[/mm] nur die bis zu einem bestimmten Grad. also
> > [mm]R[x]=\summe_{i=0}^{d}p_i*x_i+\summe_{k=d+1}^{Grad}p_k*x_k[/mm]
> > R[x]= [mm]U_d[/mm] + [Rest]
> >
> > also Teilmenge.
> >
> > Die Abgeschossenheit
> > (p+q)(x)= [mm]\summe_{i=0}^{d}(p_i+q_i)*x_i[/mm] +
> > [mm]\summe_{k=d+1}^{Grad} (p_k+q_k)*x_k)[/mm] und da d kleiner
> > gleich d und R[x] Vektorraum fällt der zweite teil weg und
> > es Gilt die Abgeschossenheit. Man kann ja auch sagen das
> > das [mm]x^d+x^d=2*x^d[/mm] ist also dass sich der Grad nicht
> > ändert, und somit aus dem Vektorraum fliegt.
> >
> > zu 2) Hier hab ich nur: [mm]K:={[U_d|d\in \IN]}[/mm] ein
> > UVR(Aufgabe1) und [mm]S=\bigcap_{d\in \IN}U_d[/mm]
> >
> > Sei u, v [mm]\in[/mm] S und k,l [mm]\in \IZ[/mm] dann gilt u,v [mm]\in U_d[/mm]
> > deshalb liegt auch k*u+l*v in [mm]U_d[/mm] (da [mm]U_d[/mm] Vekorraum), für
> > alle d [mm]\in[/mm] N, daraus folgt ja das S wieder ein
> > Untervektorraum ist das er nicht Leer [mm]ist(U_d[/mm] liegt drin)
> > er ist teilmenge von R[x], und es gilt eben das
> > Distributivgesetz.
> >
> > Aber das ist ja kein Isomorphismus zwischen zwei [mm]U_d[/mm] 's,
> > lieg ich falsch oder muss ich anders ansetzten?
> > Vielen Dank für eure Hilfe!
> >
> > Gruß Mike
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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