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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Di 22.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man betrachte [mm] $C([0,2\pi])$ [/mm] mit der Norm $||f|| = [mm] sup_{t\in I } [/mm] |f(t)|$ und die Folge [mm] $(f_n)(t) [/mm] = sin(nt).$ Zeige, dass es keine konvergente Teilfolge gibt. |
Nun, die erste Idee die mir hier kam, war natürlich ein Widerspruchsbeweis, das heißt, ich nehme an, dass es doch eine Teilfolge gibt und sehe mir dann an, was passiert.
Nun, es ist doch offensichtlich, dass die Funktionenfolge $(sin(nt))$ bei n gegen unendlich die Fläche $ [mm] [0,2\pi]\times[-1,1] \subset \mathbb{R}^2$ [/mm] ist, also kann es keinen eindeutigen Grenzwert geben. Damit konvergiert doch erst recht keine Teilfolge. Ich denke, das ist so klar, da brauche ich keine (hier unnötigen) Formalitäten.
Der Grenzwert jeglicher Sinusfunktion is doch unbestimmt, damit erst recht jeder einer Teilfolge, da die Teilglieder ja (trivialerweise) eine Teilmenge der Menge der Hauptfolgeglieder bilden...
Oder verstehe ich etwas falsch?
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Hallo clememum,
> Man betrachte [mm]C([0,2\pi])[/mm] mit der Norm [mm]||f|| = sup_{t\in I } |f(t)|[/mm]
> und die Folge [mm](f_n)(t) = sin(nt).[/mm] Zeige, dass es keine
> konvergente Teilfolge gibt.
> Nun, die erste Idee die mir hier kam, war natürlich ein
> Widerspruchsbeweis, das heißt, ich nehme an, dass es doch
> eine Teilfolge gibt und sehe mir dann an, was passiert.
Gut. Angenommen die Teilfolge [mm] f_{n_k},k\in\IN [/mm] konvergiert bezüglich dieser Norm gegen eine Funktion f. Dann konvergiert sie gleichmäßig. Daher muss auch f stetig sein.
Führe das zum Widerspruch unter Verwendung, dass [mm] \sin(nt) [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] beliebig stark oszilliert.
>
> Nun, es ist doch offensichtlich, dass die Funktionenfolge
> [mm](sin(nt))[/mm] bei n gegen unendlich die Fläche
> [mm][0,2\pi]\times[-1,1] \subset \mathbb{R}^2[/mm] ist, also kann es
> keinen eindeutigen Grenzwert geben. Damit konvergiert doch
> erst recht keine Teilfolge. Ich denke, das ist so klar, da
> brauche ich keine (hier unnötigen) Formalitäten.
Das ist alles ein bisschen schwammig und nichts erwiesen.
>
> Der Grenzwert jeglicher Sinusfunktion is doch unbestimmt,
> damit erst recht jeder einer Teilfolge, da die Teilglieder
> ja (trivialerweise) eine Teilmenge der Menge der
> Hauptfolgeglieder bilden...
>
> Oder verstehe ich etwas falsch?
LG
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