Funktionenfolgen Punktweise < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wieder seien die [mm] f_{n} [/mm] und f Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Die [mm] f_{n} [/mm] sollen punktweise gegen f konvergieren. Welche der folgenden Aussagen sind richtig (Beweis!), welche falsch (Gegenbeispiel!)?
a) Gilt [mm] f_{n}(1) [/mm] + [mm] 12f_{n}(17) [/mm] = 3 für alle n, so ist auch f(1) + 12f(17) = 3.
b) Gilt [mm] \wurzel[12]{f_{n}^{4}(1)+2}\le f_{n}(170) [/mm] für alle n, so ist auch [mm] \wurzel[12]{f^{4}(1)+2}\le [/mm] f(170)
c) Sind alle [mm] f_{n} [/mm] beschränkt, so auch f.
d) Gilt [mm] f_{n}^{2}(10) [/mm] > −0.0001 für alle n, so ist auch [mm] f^{2}(10) [/mm] > −0.0001.
|
Hallochen,
ich hab so meine Problemchen mit dieser AUfgabe. Ich versuch es mal:
a) Die Aussage stimmt. Sieht man durch Anwendung der Grenzwertsätze für Folgen.
b) Ich vermute, dass das nicht stimmt. Ich hab schon mind. 2 h nach einem Gegenbeispiel gesucht, aber leider keins gefunden. Wer weiß eins oder belehrt mich eines besseren?
c) Stimmt, so vermute ich. Punktweise Konvergenz muss ja für alle x gelten und wenn [mm] f_{n} [/mm] gegen f konvergiert, dann ist [mm] f_{n} [/mm] beschränkt, nämlich durch f, und f auch. Oder nicht?
d) Das gilt, würde ich sagen, kann das aber nicht begründen!
Kann mir bitte jemand helfen? Ich weiß nicht so recht weiter!
Danke vielmals, Grüße
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Fr 11.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur zu d) für jedes f gilt [mm] f^2>-0,001 [/mm] das hat nicht mal was mit Konvergenz zu tun, ist also nur ne Fangfrage!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hi,
> Wieder seien die [mm]f_{n}[/mm] und f Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm]
> Die [mm]f_{n}[/mm] sollen punktweise gegen f konvergieren. Welche
> der folgenden Aussagen sind richtig (Beweis!), welche
> falsch (Gegenbeispiel!)?
>
> a) Gilt [mm]f_{n}(1)[/mm] + [mm]12f_{n}(17)[/mm] = 3 für alle n, so ist auch
> f(1) + 12f(17) = 3.
> b) Gilt [mm]\wurzel[12]{f_{n}^{4}(1)+2}\le f_{n}(170)[/mm] für alle
> n, so ist auch [mm]\wurzel[12]{f^{4}(1)+2}\le[/mm] f(170)
> c) Sind alle [mm]f_{n}[/mm] beschränkt, so auch f.
> d) Gilt [mm]f_{n}^{2}(10)[/mm] > −0.0001 für alle n, so ist
> auch [mm]f^{2}(10)[/mm] > −0.0001.
>
> Hallochen,
>
> ich hab so meine Problemchen mit dieser AUfgabe. Ich
> versuch es mal:
>
> a) Die Aussage stimmt. Sieht man durch Anwendung der
> Grenzwertsätze für Folgen.
ja.
> b) Ich vermute, dass das nicht stimmt. Ich hab schon mind.
> 2 h nach einem Gegenbeispiel gesucht, aber leider keins
> gefunden. Wer weiß eins oder belehrt mich eines besseren?
sollte eigentlich wie a) stimmen. siehe grenzwertsätze.
> c) Stimmt, so vermute ich. Punktweise Konvergenz muss ja
> für alle x gelten und wenn [mm]f_{n}[/mm] gegen f konvergiert, dann
> ist [mm]f_{n}[/mm] beschränkt, nämlich durch f, und f auch. Oder
> nicht?
nein, bestimmt nicht. nimm zB. [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $f_n(x)=x^2\cdot\chi_{[-n,n]}$, [/mm] also die abgeschnittene funktion.
> d) Das gilt, würde ich sagen, kann das aber nicht
> begründen!
siehe leduart... 
>
> Kann mir bitte jemand helfen? Ich weiß nicht so recht
> weiter!
>
> Danke vielmals, Grüße
> Daniel
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
Hallochen,
vielen Dank euch beiden! Jetzt ist mir das klar!
Grüße, Daniel
|
|
|
|
