Funktionenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachfolgenden Funktionenfolgen [mm] (f_{n}(x))_{ n\in\IN} [/mm] auf punktweise und
gleichmäßige Konvergenz auf [mm] \IR [/mm] . Bestimmen Sie im Fall der punktweisen (bzw. gleichmäßigen)
Konvergenz die Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] , gegen die [mm] f_{n} [/mm] punktweise (bzw. gleichmäßig) konvergiert.
[mm] f_{n}(x) [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \bruch{nx}{1+|nx|} [/mm] |
hallo
ich weiß nicht so ganz genau wie ich die gleichmäßige konvergenz zeigen soll. für glm konvergenz muss gelten das:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}| [/mm] = 0
hier weiß ich aber nicht genau was ich für [mm] f_{n} [/mm] einsetzen muss, da ich für die punktweise konvergenz
[mm] f=\begin{cases} -1, & \mbox{} x < 0 \\ 0, & \mbox{ } x = 0 \\ 1, & \mbox{} x > 1 \end{cases}
[/mm]
rausbekommen habe:
für festes x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}gilt: [mm] \bruch{nx}{1+|nx|} [/mm] = [mm] \bruch{x}{\bruch{1}{n} + |x|} \to \bruch{x}{|x|} [/mm] = sgn(x) , mit n [mm] \to \infty
[/mm]
für x=0 gilt [mm] f_{n}(x) [/mm] = 0, mit n [mm] \to \infty
[/mm]
alternativ habe ich für den beweis zur glm konvergenz aber auch was mit der ableitung gefunden. die ableitung die ich ausgerechnet hab bringt mich aber net wirklich weiter und wolfram postet mir [mm] \bruch{n}{(\wurzel{(n^2 x^2})+1)^2} [/mm] als ableitung, was mir aber komisch vorkommt
hoffe jemand kann mir nen kleinen tipp geben wie ich hier weiterkomme
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die nachfolgenden Funktionenfolgen
> [mm](f_{n}(x))_{ n\in\IN}[/mm] auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz auf [mm]\IR[/mm] . Bestimmen Sie im Fall
> der punktweisen (bzw. gleichmäßigen)
> Konvergenz die Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] , gegen die [mm]f_{n}[/mm]
> punktweise (bzw. gleichmäßig) konvergiert.
> [mm]f_{n}(x)[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto \bruch{nx}{1+|nx|}[/mm]
>
> hallo
>
> ich weiß nicht so ganz genau wie ich die gleichmäßige
> konvergenz zeigen soll. für glm konvergenz muss gelten
> das:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |f_{n}(x)[/mm] - [mm]f_{n}|[/mm] = 0
>
> hier weiß ich aber nicht genau was ich für [mm]f_{n}[/mm]
das weiß keiner - denn das ist Unsinn. Du hast, wenn [mm] $f\,$ [/mm] (im Falle der Existenz) die PUNKTWEISE Grenzfunktion der [mm] $f_n$ [/mm] ist, eher zu gucken, ob
[mm] $$\underbrace{\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\,x \in \IR\}}_{=\|f_n-f\|_\infty} \to 0\;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
geht. Anders gesagt:
Gibt es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein (von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängiges, nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] darf es abhängen!) [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon \text{ für alle }x \in \IR\,\red{?}$$
[/mm]
> einsetzen muss, da ich für die punktweise konvergenz
>
> [mm]f=\begin{cases} -1, & \mbox{} x < 0 \\ 0, & \mbox{ } x = 0 \\ 1, & \mbox{} x > 1 \end{cases}[/mm]
Linkerhand sollte [mm] $f(x)\,$ [/mm] stehen. [mm] $f\,$ [/mm] bezeichnet die Funktion, [mm] $f(x)\,$ [/mm] (sofern man nicht dazuschreibt, dass es aus einem gewissen Grund synonym für [mm] $f\,$ [/mm] stehen soll, etwa mit einem vorangestellten "die Funktion") den Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs von [mm] $f\,,$ [/mm] also hier eines [mm] $x\in \IR\,.$
[/mm]
Genauer: $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] wird, für $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] definiert durch
[mm] $$f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{} x < 0 \\ 0, & \mbox{ } x = 0 \\ 1, & \mbox{} x > 1 \end{cases}\,.$$
[/mm]
> rausbekommen habe:
>
> für festes x [mm]\in \IR[/mm] \ {0}gilt: [mm]\bruch{nx}{1+|nx|}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{\bruch{1}{n} + |x|} \to \bruch{x}{|x|}[/mm] = sgn(x) ,
> mit n [mm]\to \infty[/mm]
>
> für x=0 gilt [mm]f_{n}(x)[/mm] = 0, mit n [mm]\to \infty[/mm]
Genau! Du hast also gezeigt, dass das oben definierte [mm] $f\,$ [/mm] gerade die Grenzfunktion ist. Nebenbei: Kurz kann man einfach sagen, dass [mm] $f=\text{sgn}\,$ [/mm] ist, wobei [mm] $\text{sgn}$ [/mm] die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Signumfunktion bezeichnet.
>
> alternativ habe ich für den beweis zur glm konvergenz aber
> auch was mit der ableitung gefunden. die ableitung die ich
> ausgerechnet hab bringt mich aber net wirklich weiter und
> wolfram postet mir [mm]\bruch{n}{(\wurzel{(n^2 x^2})+1)^2}[/mm] als
> ableitung, was mir aber komisch vorkommt
Warum? Es ist [mm] $f_n(x)=g_n(x)/h_n(x)$ [/mm] mit [mm] $g_n(x):=n*x$ [/mm] und [mm] $h_n(x):=1+|n*x|\,.$ [/mm] Ob [mm] $f_n\,'(0)$ [/mm] existiert, musst Du Dir halt überlegen. Und für die Ableitung [mm] $f_n\,'(x)$ [/mm] an einer Stelle $x [mm] \not=0$ [/mm] zu berechnen, betrachtest Du halt die Fälle $x > [mm] 0\,$ [/mm] und $x < [mm] 0\,,$ [/mm] oder, wenn Du es Dir einfacher machen willst:
Überlege Dir, dass, wenn $u: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine ungerade Funktion ist (also [mm] $u(-x)=-u(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt) und wenn [mm] $u\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, dass dann [mm] $u\,$ [/mm] auch in [mm] $-x_0$ [/mm] differenzierbar ist und es gilt [mm] $u\,'(-x_0)=u\,'(x_0)\,.$ [/mm] (Insbesondere: Wenn die Ableitungsfunktion [mm] $u\,'$ [/mm] existiert, ist sie dann eine gerade Funktion.)
> hoffe jemand kann mir nen kleinen tipp geben wie ich hier
> weiterkomme
Die Ableitung brauchst Du gar nicht. Überlege:
Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind stetige Funktionen. Angenommen, [mm] $f_n\,$ [/mm] würde auch glm. konvergieren. Wegen der Eindeutigkeit des (punktweisen) Grenzwertes folgt daraus schon sofort, dass die glm. Grenzfunktion mit der punktweisen dann identisch sein muss.
Hier ist es nun einfach, weil wir die pktw. Grenzfunktion schon hinschreiben konnten - i.a. kann man schon oft das Problem haben, dass man die pktw. Grenzfunktion "nicht kennt". (Da gibt es dann andere Kriteriuen, man prüft etwa "ob die Funktionenfolge Cauchy bzgl. der Supermumsnorm/Unendlichnorm [mm] $\|.\|_\infty$" [/mm] ist.)
Und nun gibt's einen Satz: Wenn eine Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] stetiger Funktionen gleichmäßig gegen [mm] $f\,$ [/mm] (welche dann insbesondere die pktw. Grenzfunktion ist) strebt, dann muss auch die Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] stetig sein.
Also?
P.S.
Nur nochmal nebenher:
Für $x > 0$ gilt
[mm] $$f_n\,'(x)=\frac{n(1+nx)-nx*n}{(1+nx)^2}$$
[/mm]
nach der Quotientenregel, also
[mm] $$f_n\,'(x)=\frac{n(1+nx)-nx*n}{(1+nx)^2}=\frac{n}{(1+nx)^2}\,.$$
[/mm]
Wenn man Spaß dran hat, kann man auch schreiben
[mm] $$\frac{n}{(1+nx)^2}=\frac{n}{(1+|nx|)^2}=\frac{n}{(\sqrt{(nx)^2}+1)^2}=\frac{n}{(\sqrt{n^2x^2}+1)^2}\,.$$
[/mm]
Denn für $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $|r|=\sqrt{r^2}\,.$ [/mm] Das ist das, was Wolfram benutzt hat und gleiches folgt dann auch für $x < [mm] 0\,.$ [/mm] (Oder Du benutzt einfach, wie gesagt, die Symmetrie der Ableitungsfunktion - hier ist die Einschränkung der Ableitungsfunktion auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] ja gerade. Ich spreche noch nicht von der Ableitungsfunktion, weil Du ja noch nicht nachgerechnet hast, dass [mm] $f_n\,$ [/mm] auch an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] differenzierbar ist - aber das wird rauskommen!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
wow, vielen dank schonmal für die ausführliche erklärung
bei der grenzfunktion hatte ich mich verschrieben, da sollte wirklich f(x) stehen :)
mit dem was du gesagt hast ist die glm konvergenz wirklich einfach zu beweisen:
Wenn eine Funktionenfolge von stetigen Funktionen die glm stetig konvergiert, dann ist auch die Grenzfunktion stetig. Wegen der Eindeutigkeit des (punktweisen) Grenzwertes folgt daraus schon sofort, dass die glm. Grenzfunktion mit der punktweisen dann identisch sein muss.
[mm] \Rightarrow [/mm] keine glm konvergenz, da die punktweise Grenzfunktion schon nicht stetig ist
falls ich das jetzt noch "rechnerisch" zeigen sollte, wäre das hier möglich?
Sei [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] (so dass ich x immernoch so klein machen kann wie ich will), dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup $ [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup $ [mm] |\bruch{n \bruch{1}{n}}{1 + |n \bruch{1}{n}|} [/mm] - 1| = [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine glm konvergenz
zur ableitung:
ich habe da nx zu x abgeleitet... dann ists kein wunder das ich da so nen mist rausbekommen habe. auch als ich den betrag, wie du schon geschrieben hast, umgeschrieben habe zu [mm] |nx|=\sqrt{n^2x^2}
[/mm]
ps: falls ich morgen noch fragen zum aufgabenteil b) haben sollte, soll ich die dann hier rein schreiben oder lieber ein neues thema erföffnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wow, vielen dank schonmal für die ausführliche
> erklärung
>
> bei der grenzfunktion hatte ich mich verschrieben, da
> sollte wirklich f(x) stehen :)
>
> mit dem was du gesagt hast ist die glm konvergenz wirklich
> einfach zu beweisen:
>
> Wenn eine Funktionenfolge von stetigen Funktionen die glm
> stetig
es gibt hier nur glm. Konvergenz, der Begriff der glm. stetigen Konvergenz sagt mir hier nix ^^
> konvergiert, dann ist auch die Grenzfunktion stetig.
> Wegen der Eindeutigkeit des (punktweisen) Grenzwertes folgt
> daraus schon sofort, dass die glm. Grenzfunktion mit der
> punktweisen dann identisch sein muss.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine glm konvergenz, da die punktweise
> Grenzfunktion schon nicht stetig ist
>
>
> falls ich das jetzt noch "rechnerisch" zeigen sollte, wäre
> das hier möglich?
Natürlich - schlimmstenfalls mit der Methodik des Beweises des obenstehenden Satzes.  Aber Du hast ja auch eine Idee:
> Sei [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm] (so dass ich x immernoch so klein machen
> kann wie ich will),
Na, setze nicht [mm] $x:=1/n\,,$ [/mm] sondern [mm] $x_n:=1/n\,.$ [/mm] Dann ist irgendwie klarer, was man macht!
> dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|f_n(x)-f(x)| [/mm]
> [mm] $\red{\textbf{=}}$ [/mm]
Sei vorsichtig mit dem [mm] $=\,,$ [/mm] das ist eine starke Behauptung. In einer Prüfung wollte die jeder bewiesen bekommen haben. Dabei ist's unnötig und Du kannst es Dir einfacher machen, weil nämlich für Mengen $M,N [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gilt: $M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \Rightarrow \sup(M) \le \sup(N)\,.$ [/mm] Und sicherlich gilt für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dass [mm] $\{x_n\} \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Also: Wir ersetzen das [mm] $\red{\mathbf{=}}$ [/mm] durch ein [mm] $\blue{\mathbf{\ge}}\,.$ [/mm] Und das [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] würde ich da auch noch nicht hinschreiben.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup[/mm]
> [mm]|\bruch{n \bruch{1}{n}}{1 + |n \bruch{1}{n}|}[/mm] - 1| =
> [mm]\bruch{1}{2} \not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] keine glm konvergenz
Also: Ich hätte es halt etwa so geschrieben: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$\sup_{x \in \IR}|f_n(x)-f(x)| \ge \sup_{x \in \{x_n\}}|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x_n)-f(x_n)|=1/2 \not\to 0\;\;(n \to \infty)\,.$$
[/mm]
Aber okay: Bis auf das [mm] $=\,,$ [/mm] welches Du besser durch ein [mm] $\ge$ [/mm] ersetzen solltest, passt das auch bei Dir (so beim schnellen kurz drüberblicken)!!
>
> zur ableitung:
> ich habe da nx zu x abgeleitet...
Okay - das ist aber reine Übungssache - nach dem Motto: Augen auf, guck', was die Variable ist und was ein Parameter ist.
> dann ists kein wunder
> das ich da so nen mist rausbekommen habe. auch als ich den
> betrag, wie du schon geschrieben hast, umgeschrieben habe
> zu [mm]|nx|=\sqrt{n^2x^2}[/mm]
Das war eigentlich das einzige "Kunststück" von Wolfram - wenn auch keine Meisterleistung. Ist ziemlich trivial, aber ist halt wie so oft im Leben: Wer's noch nie (oder selten) gesehen hat, sieht's vielleicht erstmal nicht. Wäre das bei Dir der Fall gewesen, hätte ich gesagt: Setze Deine Lösung mit der von Wolfram gleich und prüfe, ob man durch Äquivalenzumformungen zu einer wahren Aussage, etwa [mm] $0=0\,,$ [/mm] gelangen kann!
> ps: falls ich morgen noch fragen zum aufgabenteil b) haben
> sollte, soll ich die dann hier rein schreiben oder lieber
> ein neues thema erföffnen?
Wenn sie stark mit der Aufgabe hier zusammenhängt, würde ich sie hier anhängen. Wenn es eine getrennte ist, kann man auch einen neuen Thread eröffnen...
Ganz so schlimm' sehe ich das nicht. Im Zweifel einen neuen Thread eröffnen und auf den hier verweisen - ggf. kann ein Mod. die Aufgabe dann ja wieder hier anhängen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
