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Hallöle,
hab hier nen Beispiel für eine konvergente Potenzreihe:
[mm] f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k [/mm] die in jedem Punkt [mm] a \neq x_0 [/mm] konvergiert.
f soll dann absolut und gleichmäßig auf jedem Intervall [mm] [a-p,a+p]; 0<0<|a-x_0| [/mm] konvergieren. ----?
Der Beweis ist gegeben, aber Meinung nach nicht schlüssig:
Zitat:
Sei [mm]f_n(x):=a_n(x-x_0)^n[/mm]
Nach Voraussetzung konvergiert f(a), es gibt also ein [mm] M>0 [/mm] mit [mm]|f_n(a)|=|a_n(a-x_o)^n|\leq M[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb N_0[/mm]. Für alle [mm]x\in [a-p,a+p][/mm] gilt dann:
[mm]|f_n(x)|=|a_n(x-x_0)^n|=|a_n(a-x_0)^n| \cdot \left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n\le M \cdot C^n [/mm]
mit [mm]C:=\frac{p}{|a-x_0|}\in (0,1)[/mm] ...
Zitatende
Die letzte bzw. vorletzte Zeile ist die, die mir Kopfschmerzen bereitet, da meiner Meinung nach folgendes nicht stimmt:
[mm]\left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n \le C^n [/mm]mit [mm]C\in (0,1)[/mm]
Meine Fragen sind nun:
stimmt die Ungleichung/der Beweis doch?
falls nicht, wie könnte man dieses Beispiel mit möglichst geringem Aufwand reparieren?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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