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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:59 So 02.12.2007 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] genau dann beschränkt ist, wenn es eine gegen $f$ gleichmäßig konvergente Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] von Fuktionen [mm] $f_n:\IR\to\IR$ [/mm] gibt, so dass [mm] $f_n(\IR)$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] aus endlich vielen Elementen besteht. |
Moin an alle!
Ich habe obige Aufgabe zu lösen und wie unschwer zu erraten meine Schwierigkeiten damit.
Ich weiß dass ich folgenden Teile zu zeigen habe:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
$f$ ist beschränkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)$, [/mm] die glm gegen $f$ konvergiert und für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] aus endlich vielen Elementen besteht.
[mm] $f_n:=\frac{1}{n}[nf(x)]$ [/mm] (wobei $[.]$ die Gaußklammer meint) leistet das geforderte.
z.z.1) glm Konvergenz:
wegen [mm] $f(x)-\frac{1}{n}=\frac{1}{n}(nf(x)-1)<\frac{1}{n}[nf(x)]\leq\frac{1}{n}(nf(x))=f(x)
[mm] $|f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Also [mm] $||f_n(x)-f(x)||<\frac{1}{n}\stackrel{n\to\infty}{\to}0$ [/mm] und somit folgt die glm Konvergenz.
zz 2) [mm] $(f_n)$ [/mm] besteht für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] aus endlich vielen Elementen
Es sollten nicht mehr als $2nK$ Elemente sein, wenn $K$ die Schranke von $f$ bezeichnet. Doch wie ich das zeigen soll??
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Mit dem Rückweg habe ich mich noch nicht weiter auseinandergesetzt. Wer Tip geben möchte soll das ruhig tun :grins: hoffe aber in bälde einen eigenen Lösungsansatz zu posten.
Danke für die Mühe, die ich gemacht hab
mFg Sashman
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:20 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Guten Tag an alle!
Wie "versprochen" hier der Rest.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $i\in\IN$ [/mm] und [mm] $B_i\subset\IR\mbox{ }i=1,\dots,n$ [/mm] die Menge der Bildpunkte von [mm] $f_i\mbox{ }i=1,\dots,n$. [/mm] Dann sind die [mm] $B_i$ [/mm] nach Voraussetzung endlich und somit insbesondere Beschränkt für alle [mm] $i\in\IN$ [/mm] und somit auch die dazugehörigen [mm] $f_i$.
[/mm]
Da [mm] $(f_n)$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert und da [mm] $f_n$ [/mm] beschrankt für alle n ist auch $f$ beschränkt.
richtig so?
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
i) die gleichmäßige Konvergenz ist ja schon gezeigt.
ii) hier habe ich immernoch Schwierigkeiten zu zeigen das [mm] $f_n:=\frac{1}{n}[nf(x)]$ [/mm] für jedes n aus endlich vielen Elementen besteht.
In Erwartung eines helfenden "Winks"
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 So 09.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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