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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich am besten erkennen kann, um was für eine Funktionen es sich handelt. Habe hier ein Beispiel:
[mm] h(x,y)=2x^{2}+3xy+2y^{2}-4=0
[/mm]
Woher weiß ich, dass das eine Ellipse ist? Oder wie zeichne ich sowas am besten in einer Klausur? ich habe keine Ahnung
Wäre schön, wenn mir jemand weiter helfen könnte. Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tynia,
> Hallo. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich am besten
> erkennen kann, um was für eine Funktionen es sich handelt.
> Habe hier ein Beispiel:
>
> [mm]h(x,y)=2x^{2}+3xy+2y^{2}-4=0[/mm]
>
> Woher weiß ich, dass das eine Ellipse ist? Oder wie zeichne
> ich sowas am besten in einer Klausur? ich habe keine
> Ahnung
das ist allgemein eigentlicht nicht zu beantworten. Es ist eher so, dass man eine Funktionsgleichung kennt, die einen gewissen Graphen beschreibt, und dann schaut, in welchen Variationen solche eine Gleichung auftreten kann. Bsp.:
Für $m [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gegeben mit
[mm] $$(\star_1)\;\;\;f(x)=m*(x-x_0)^2+y_0\,.$$
[/mm]
Das ist offensichtlich eine verschobene (ggf. gestreckte oder gestauchte) Parabel, deren Scheitelpunkt gerade die Koordinaten [mm] $S(x_0,\;y_0)$ [/mm] hat.
Durch einfaches Vorwärtsrechnen erkennt man dann, dass $f$ auch eine Darstellung der Art
[mm] $$(\star_2)\;\;\;f(x)=ax^2+bx+c$$
[/mm]
hat (wobei hier [mm] $a\,=\,m$ [/mm] sein wird). Man erkennt also leicht, dass man von [mm] $\,f(x)\,$ [/mm] in der Form [mm] $(\star_1)$ [/mm] zu einer Darstellung für [mm] $\,f(x)\,$ [/mm] in der Form [mm] $(\star_2)$ [/mm] gelangt. Nicht ganz so trivial ist es, von [mm] $\,f(x)\,$ [/mm] in der Form [mm] $(\star_2)$ [/mm] zu einer Darstellung von [mm] $\,f(x)\,$ [/mm] in der Form [mm] $(\star_1)$ [/mm] zu gelangen. Dies macht man entweder mit quadratischer Ergänzung (quasi der "algebraische" Weg), oder man benutzt einfach die Differentialrechnung, um die Koordinaten des Scheitelpunktes von [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] zu berechnen und rechnet kurz nach, dass man so die entsprechende [mm] $(\star_1)$-Darstellung [/mm] für [mm] $\,f(x)\,$ [/mm] gefunden hat.
Bzgl. Deiner konkreten Funktion [mm] $h(x,y)=2x^2+3xy+2y^2-4$ [/mm] von oben:
Mit $h(x,y)=0$ berechnet man die Nullstellenmenge von $h$, das ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Es ist also
[mm] $$N:=N(h):=\text{Nullstellen von }h=\{(x,y) \in \IR^2:\;2x^2+3xy+2y^2-4=0\}\,.$$
[/mm]
Und jetzt erst kommt Deine Frage ins Spiel:
Woher weiß man, ob [mm] $\,N\,$ [/mm] eine Ellipse im [mm] $\IR^2$ [/mm] darstellt? Erstmal ein naiver oder der naheliegendste Ansatz, wäre es z.B., wie folgt zu verfahren:
Es gilt
[mm] $$2x^2+3xy+2y^2-4=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$x^2+\frac{3}{2}xy+y^2-2=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\Big(y+\frac{3}{4}x\Big)^2+\frac{7}{16}x^2-2=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \Big(y+\frac{3}{4}x\Big)^2=2-\frac{7}{16}x^2\,.$$
[/mm]
Damit kann man nun (mindestens) zwei Funktionen [mm] $y_1=y_1(x)$ [/mm] und [mm] $y_2=y_2(x)$ [/mm] zusammenstellen, so dass die Vereinigung deren Grahen gerade $N=N(h)$ ist. Wenn man dies getan hat:
Dann könnte man überhaupt mal auf die Idee kommen, dass das etwas mit einer Ellipse zu tun haben könnte. Diese würde dann aber nicht mehr parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegen, d.h. z.B. müßte man evtl. eine geeignete Koordinatentransformation finden.
Mithilfe der analytischen Geometrie bzw. der linearen Algebra kann man hier vll. auch direkt eleganter an die Sache herangehen , nur momentan müßte ich da selber nochmal einiges nachschlagen/nachlesen. (siehe z.B. das Skript des letzten Links):
Generell zu Ellipsen:
[mm] $\bullet$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Uni Stuttgart: Ellipse
[mm] $\bullet$[/mm] Wiki: Ellipse - Formelsammlung
[mm] $\bullet$ [/mm] in diesem Skript, 12.4 (S.209) findest Du auch eine Begründung, warum oben [mm] $h(x,y)=2x^2+3xy+y^2-4=0$ [/mm] eine Ellipse darstellt. Hier ist nämlich Deine Gleichung in der Form $(1)$ des Skriptes mit [mm] $x_1=x\,,$ $x_2=y\,,$ $a_{11}=2\,,$ $a_{12}=1,5\,,$ $a_{22}=2\,,$ $a_1=a_2=0$ [/mm] und [mm] $a=-4\,.$ [/mm] Mithilfe des dort formulierten Satzes bzw. des zugehörigen Beweises sollte es Dir also möglich sein, wirklich nachzuweisen, dass der obige Kegelschnitt $N=N(h)$ in die Normalform i) (also einer Ellipse) übergeführt werden kann. Das nun nochmal vorzurechnen, erspare ich mir. Aber ich denke, dieser Satz wird für Dich sicher öfters von Bedeutung sein, insbesondere in der Klausur. Von daher solltest Du versuchen, diesen Satz + Beweis nachzuvollziehen.
P.S.: Was in dem Satz vll. untergehen kann, ist, dass, wenn man [mm] $A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }$ [/mm] schreiben würde, dann [mm] $a_{21}=a_{12}$ [/mm] gelten würde. Allerdings wird dort die Matrix [mm] $\,A\,$ [/mm] im Beweis dort direkt symmetrisch definiert, d.h. so, dass [mm] $^tA=A\$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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