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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind analytisch, welche nicht?
[mm] f_{1}: \IC\to\IC: z\mapsto i+(2+i)z-3z^{2}+(4-i)z^{3}
[/mm]
[mm] f_{2}: \IC\to\IC: z\mapsto (f_{1}(z))^{\*}
[/mm]
[mm] f_{3}: \IC\to\IC: z\mapsto (f_{1}(z^{\*}))^{\*}
[/mm]
[mm] f_{4}: \IC\to\IC: z\mapsto f_{1}(z^{\*}) [/mm] |
Hallo,
Könnte mir bitte jemand sagen ob es so in Ordnung ist was ich gemacht habe?
Ich habe:
[mm] f_{1} [/mm] ist analytisch, denn Produkte und Summen analytischer Funktionen sind wieder analytisch. Das f(z)=z und konstante Funktionen analytisch sind habe ich schnell gezeigt (partielle Ableitungen sind stetig und erfüllen die Cauchy-Riemann DGL)
[mm] f_{2} [/mm] ist nicht analytisch weil [mm] f(z)=z^{\*} [/mm] nicht die Cauchy-Riemann DGL erfüllt. [mm] f_{2}(z) [/mm] ist aber [mm] -i+(2-i)z^{\*}-3z^{\*^{2}}+(4+i)z^{\*^{3}} [/mm]
[mm] f_{3} [/mm] ist wieder analytisch, denn [mm] f_{3}(z)=(f_{1}(z^{\*}))^{\*}=(i+(2+i)z^{\*}-3z^{{\*}^{2}}+(4-i)z^{{\*}^{3}})^{\*}=-i+(2-i)z-3z^{2}+(4+i)z^{3} [/mm] und ist eine Summe aus analytischen Funktionen.
[mm] f_{4} [/mm] nicht analytisch da [mm] f_{4}(z)=f_{1}(z^{\*})=i+(2+i)z^{\*}-3z^{{\*}^{2}}+(4-i)z^{{\*}^{3}} [/mm] nicht analytische Funktionen enthält.
Danke im Voraus,
helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Welche der folgenden Funktionen sind analytisch, welche
> nicht?
> [mm]f_{1}: \IC\to\IC: z\mapsto i+(2+i)z-3z^{2}+(4-i)z^{3}[/mm]
>
> [mm]f_{2}: \IC\to\IC: z\mapsto (f_{1}(z))^{\*}[/mm]
> [mm]f_{3}: \IC\to\IC: z\mapsto (f_{1}(z^{\*}))^{\*}[/mm]
>
> [mm]f_{4}: \IC\to\IC: z\mapsto f_{1}(z^{\*})[/mm]
> Hallo,
>
> Könnte mir bitte jemand sagen ob es so in Ordnung ist was
> ich gemacht habe?
>
> Ich habe:
> [mm]f_{1}[/mm] ist analytisch, denn Produkte und Summen
> analytischer Funktionen sind wieder analytisch. Das f(z)=z
> und konstante Funktionen analytisch sind habe ich schnell
> gezeigt (partielle Ableitungen sind stetig und erfüllen
> die Cauchy-Riemann DGL)
Das ist O.K.
>
> [mm]f_{2}[/mm] ist nicht analytisch weil [mm]f(z)=z^{\*}[/mm] nicht die
> Cauchy-Riemann DGL erfüllt. [mm]f_{2}(z)[/mm] ist aber
> [mm]-i+(2-i)z^{\*}-3z^{\*^{2}}+(4+i)z^{\*^{3}}[/mm]
[mm] f_2 [/mm] ist nicht analytisch, aber Deine Begründung gefällt mir nicht.
Z.B. ist [mm] g(z)=z^{\*}-z^{\*} [/mm] analytisch
Finde also eine andere Begründung
>
> [mm]f_{3}[/mm] ist wieder analytisch, denn
> [mm]f_{3}(z)=(f_{1}(z^{\*}))^{\*}=(i+(2+i)z^{\*}-3z^{{\*}^{2}}+(4-i)z^{{\*}^{3}})^{\*}=-i+(2-i)z-3z^{2}+(4+i)z^{3}[/mm]
> und ist eine Summe aus analytischen Funktionen.
Das ist O.K.
>
> [mm]f_{4}[/mm] nicht analytisch da
> [mm]f_{4}(z)=f_{1}(z^{\*})=i+(2+i)z^{\*}-3z^{{\*}^{2}}+(4-i)z^{{\*}^{3}}[/mm]
> nicht analytische Funktionen enthält.
Gleiche Kritik wie bei [mm] f_2
[/mm]
FRED
>
>
> Danke im Voraus,
>
> helicopter
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Hallo,
> > [mm]f_{2}[/mm] ist nicht analytisch weil [mm]f(z)=z^{\*}[/mm] nicht die
> > Cauchy-Riemann DGL erfüllt. [mm]f_{2}(z)[/mm] ist aber
> > [mm]-i+(2-i)z^{\*}-3z^{\*^{2}}+(4+i)z^{\*^{3}}[/mm]
>
> [mm]f_2[/mm] ist nicht analytisch, aber Deine Begründung gefällt
> mir nicht.
>
> Z.B. ist [mm]g(z)=z^{\*}-z^{\*}[/mm] analytisch
Das aber auch nur weil g(z) dann 0 wäre und damit analytisch oder gibt es auch andere Möglichkeiten das eine Summe aus nichtanalytischen Funktionen analytisch wird?
> Finde also eine andere Begründung
>
EDIT: Ich weiß ja das [mm] f(z)=z^{\*} [/mm] nicht analytisch also auch nicht komplex differenzierbar ist. Dann ist aber auch [mm] z^{\*^{2}} [/mm] und [mm] z^{\*^{3}} [/mm] nicht komplex differenzierbar. Da die Summe der Funktionen von 0 verschieden ist kann auch für diese Summe keine komplexe Ableitung geben und sie ist somit nicht analytisch.
Kann man das so argumentieren?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > > [mm]f_{2}[/mm] ist nicht analytisch weil [mm]f(z)=z^{\*}[/mm] nicht die
> > > Cauchy-Riemann DGL erfüllt. [mm]f_{2}(z)[/mm] ist aber
> > > [mm]-i+(2-i)z^{\*}-3z^{\*^{2}}+(4+i)z^{\*^{3}}[/mm]
> >
> > [mm]f_2[/mm] ist nicht analytisch, aber Deine Begründung gefällt
> > mir nicht.
> >
> > Z.B. ist [mm]g(z)=z^{\*}-z^{\*}[/mm] analytisch
>
> Das aber auch nur weil g(z) dann 0 wäre und damit
> analytisch oder gibt es auch andere Möglichkeiten das eine
> Summe aus nichtanalytischen Funktionen analytisch wird?
>
> > Finde also eine andere Begründung
> >
>
> EDIT: Ich weiß ja das [mm]f(z)=z^{\*}[/mm] nicht analytisch also
> auch nicht komplex differenzierbar ist. Dann ist aber auch
> [mm]z^{\*^{2}}[/mm] und [mm]z^{\*^{3}}[/mm] nicht komplex differenzierbar.
> Da die Summe der Funktionen von 0 verschieden ist kann auch
> für diese Summe keine komplexe Ableitung geben und sie ist
> somit nicht analytisch.
>
> Kann man das so argumentieren?
Das ist "wackelig".
Warum bemühst Du nicht die Cauchy-Riemannschen DGLen ? O.K., das ist mühsame Rechnerei, aber Du bist auf der sicheren Seite.
FRED
>
>
> Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 03.12.2014 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> Warum bemühst Du nicht die Cauchy-Riemannschen DGLen ?
> O.K., das ist mühsame Rechnerei, aber Du bist auf der
> sicheren Seite.
>
> FRED
Da habe ich garnicht dran gedacht, aber gut fürs nächste Mal weiß ich Bescheid. Danke
Gruß helicopter
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