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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:07 Di 30.09.2008 | | Autor: | fertig |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen u(x) und v(x) durch u(x)=-3x³ + 3x² und v(x)=6x² + 9x³ sowie die Funktion f(x) in ihrem größtmöglichen Defintionsbereich durch die Gleichung [mm] f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] .
a) Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Schnittpunkte der Graphen der Funktionen u(x) und v(x).
Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen u(x) für x [mm] \to \pm \infty [/mm] ein unterschiedliches Verhalten aufweisen.
Begründen Sie, dass die Funktionswerte der Funktion u(x) für x > 1 negativ sind und geben Sie an, in welchem Quadranten der Graph der Funktion u(x) für x > 1 nur verlaufen kann.
b) Geben Sie die Gleichung der Funktion f(x) an und ermitteln Sie den größtmöglichen Defintionsbereich der Funktion f(x).
Zeigen Sie, dass der Grenzwert an der Stelle x=0 existiert und bestimmen Sie ihn.
Geben Sie die Gleichung der Polasymptoten an und untersuchen Sie das Verhalten des Graphen von f(x) bei Annäherung an diese Polasymptote.
Begründen Sie, dass die Funktion f(x) eine weitere Asymptote besitzt und ermitteln Sie Ihre Gleichung. |
Hallo, wenn mir jemand bei irgendwelchen Teilen der Aufgabe behilflich sein könnte, wäer ich ihm sehr dankbar.
Ich habe bisher versucht die Aufgaben zu lösen..
a) u(x) = v(x)
0 = 3x² + 12x³
0 = x² + 4x³
..nur weiß ich nun nicht so recht weiter, theoretisch müsste ich das Ganze ja in eine quadratische Läsungsform bringen, aber das scheint ja hier nicht zu klappen.
Habe versucht die nächste Aufgabe zu lesen, aber auch hier scheint nicht so recht ein Ergebnis herausgekommen zu sein..:
u(x)=-3x³ + 3x² = 3x²(-x+1)
Und jetzt?
v(x)=6x²+9x³ = 3x²(2+3x)
Und weiter weiß ich dann auch nicht..
Bei Aufgabe b) habe ich versucht den Anfang zu machen, aber naja, mir scheinen einige grundkenntnisse zu fehlen, bin lediglich soweit gekommen:
f(x) = [mm] \bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
= [mm] \bruch{3x³ + 3x²}{6x² + 9x³} [/mm] = [mm] \bruch{x + 1}{2 + 3x}
[/mm]
Liebe Grüße,
fertig
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 30.09.2008 | | Autor: | fertig |
Bei a) komme ich dann auf S{0,-0,25}
naja also muss ich ja nun praktisch das Grenzwertverhalten von (-x +1) und (2+3x) betrachten,oder?
Wie macht man das?
Dann habe ich bei b) beim Defintionsbereich die 0 ausgeschlossen. Und der Grenzwert wäre 0,5 oder?
Kann man mir vielleicht noch bei den anderen Aufgabenstellung weiterhelfen?
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Hallo fertig,
> Bei a) komme ich dann auf S{0,-0,25}
hmm, das ist nicht der Schnittpunkt, ich denke aber, du meinst, dass die Schnittstellen bei $x=0$ und [mm] $x=-0,25=-\frac{1}{4}$ [/mm] liegen, was richtig ist!
Die Schnittpunkte (also die jeweilige y-Koordinate) dazu kannst du durch Einsetzen der x-Koordinate in einen der beiden Funktionsterme ausrechnen
> naja also muss ich ja nun praktisch das Grenzwertverhalten
> von (-x +1) und (2+3x) betrachten,oder?
Nein, du sollst doch nicht die Funktion $f(x)$ betrachten, sondern $u(x)$!!
mit der obigen Umformung ist [mm] $u(x)=3x^2\cdot{}(-x+1)$
[/mm]
> Wie macht man das?
Mache es, wie Loddar vorgeschlagen hat, betrachte [mm] $\lim\limits_{x\to +\infty}3x^2(-x+1)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to -\infty}3x^2(-x+1)$
[/mm]
Der erste Term [mm] $3x^2$ [/mm] strebt wegen des Quadrates jeweils
für [mm] $x\to +\infty$ [/mm] und für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$
[/mm]
Was macht der Klammerterm für [mm] $x\to +\infty$, [/mm] was macht er für [mm] $x\to -\infty$
[/mm]
Dann überlege, was mit dem Produkt passiert, also mit [mm] $3x^2\cdot{}(-x+1)$
[/mm]
>
> Dann habe ich bei b) beim Defintionsbereich die 0
> ausgeschlossen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber nicht nur ...
Du hattest einen kleinen Vorzeichenfehler beim Aufstellen des Termes $f(x)$:
[mm] $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{\red{-}3x^3+3x^2}{6x^2+9x^3}=\frac{3x^2(-x+1)}{3x^2(2+3x)}$
[/mm]
Der Nenner wird nicht nur für $x=0$ zu Null, sondern auch für $2+3x=0$, also $x=...$
Das musst du auch aus dem Definitionsbereich rausnehmen!
Und der Grenzwert wäre 0,5 oder?
Ja, daran ändert das fehlende "-" nichts 
>
> Kann man mir vielleicht noch bei den anderen
> Aufgabenstellung weiterhelfen?
Eine Polstelle ist eine NST des Nenners, die nicht glz. auch NST des Zählers ist, also hier $x=...$
Eine NST ist sowohl NST des Zählers als auch des Nenners, nämlich $x=0$; die kannst du rauskürzen, hast dort also keine Polstelle
Um das Verhalten der Funktion an dieser Polstelle (also bei der anderen NST des Nenners) zu betrachten, schaue dir den linksseitigen und rechtsseitigen Limes [mm] $x\uparrow\downarrow\text{Polstelle}$ [/mm] von $f(x)$ an ...
LG
schachuzipus
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ist wirklich ganz [mm] $\IR$ [/mm] (ohne einschränkungen) Definitionsbereich dieser Funktion?
