Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich schreibe am Dienstag eine Klausur zu den Themen:
1. Ableitungsregeln
2. Eigenschaften von Kurven
3. Kurvendiskussionen, Bestimmung von Tangenten und Normalen
4. Bestimmung ganzrationaler Funktionen
5. Extremwertaufgaben
Ich fühl mich leider noch ziemlich unsicher und würde gerne eine kleine Übersicht für mich erstellen, besonders für die Eigenschaften von Kurven.
Also:
wenn ich eine Funktion habe und den dazugehörigen Graphen finden soll, nach welchen Merkmalen muss ich da schauen?
1. [mm] x^n [/mm] ---> der Grad des Graphen sagt mir wie viele Nullstellen, oder Extremwerte ich habe?
2. x+n ---> der Graph geht durch diesen y-Achsenabschnitt n
Beispiel:
[mm] f(x)=(1/10)*(x^4-4x^2) [/mm] Was für markante Punkte im Graphen lassen sich durch die Funktion erahnen? Oder gibts da keine?
Wüsst ihr überhaupt ungefähr auf was ich hinaus will?
Dann gibts halt noch so Aufgaben wo man den Graph gegeben hat und die Ableitungsfunktion einzeichnen soll oder umgekehrt.
1. Der Extremwert der Funktion ist die Nullstelle der Ableitungsfunkion?
2. Ein Punkt an einer bestimmten Stelle des Graphen lässt sich über die Tangentensteigung in diesem Punkt bestimmen?
3. Der Wendepunkt der Funktion ist ein Extrempunkt der Ableitung?
4. Sagen die Nullstellen der Funktion irgendwas aus?
sonst noch was?
Kennt jemand vielleicht eine Seite wo meine Klausurthemen relativ gut zusammengefasst sind?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 17.10.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> ich schreibe am Dienstag eine Klausur zu den Themen:
>
> 1. Ableitungsregeln
> 2. Eigenschaften von Kurven
> 3. Kurvendiskussionen, Bestimmung von Tangenten und
> Normalen
> 4. Bestimmung ganzrationaler Funktionen
> 5. Extremwertaufgaben
>
>
> Ich fühl mich leider noch ziemlich unsicher und würde
> gerne eine kleine Übersicht für mich erstellen, besonders
> für die Eigenschaften von Kurven.
>
> Also:
>
> wenn ich eine Funktion habe und den dazugehörigen Graphen
> finden soll, nach welchen Merkmalen muss ich da schauen?
>
> 1. [mm]x^n[/mm] ---> der Grad des Graphen sagt mir wie viele
> Nullstellen, oder Extremwerte ich habe?
Nein, nur die maximale Anzahl der Nullstellen oder Extremstellen oder Wendestellen...
z. B. hat [mm] $x^2 [/mm] + 1$ doch keine (reelle) Nullstelle. Ich denke, von den imaginären Zahlen hast du auch noch nichts gehört, das wäre eher untypisch.
> 2. x+n ---> der Graph geht durch diesen y-Achsenabschnitt
> n
Ja, schreib aber lieber f(x) = x+n
Für den Y-Achsenabschnitt berechnest du dann f(0) = 0+n =n
> Beispiel:
> [mm]f(x)=(1/10)*(x^4-4x^2)[/mm] Was für markante Punkte im Graphen
> lassen sich durch die Funktion erahnen? Oder gibts da
> keine?
Also was geht, ist der Definitionsbereich (ist dir das überhaupt ein Begriff? Auch nicht immer In, den zu kennen)
dann kannst du sehr schnell den Limes bestimmen, d. h. x gegen minus unendlich und x gegen plus unendlich.
Du kannst sofort die Symmetrie erkennen (hier Achsensymmetrie - sind dir die Kriterien denn bekannt?)
f(0), sprich den Y-Achsenabschnitt kannst du auch sofort ablesen.
Außerdem ist eine doppelte Nullstelle bei x=0
> Wüsst ihr überhaupt ungefähr auf was ich hinaus will?
Ja, so in etwa. Aber das ist sehr viel verlangt! Besser wären konkrete Fragen von dir.
> Dann gibts halt noch so Aufgaben wo man den Graph gegeben
> hat und die Ableitungsfunktion einzeichnen soll oder
> umgekehrt.
>
> 1. Der Extremwert der Funktion ist die Nullstelle der
> Ableitungsfunkion?
Richtig.
> 2. Ein Punkt an einer bestimmten Stelle des Graphen lässt
> sich über die Tangentensteigung in diesem Punkt
> bestimmen?
Erst musste ich darüber nachdenken, was das eigentlich heißt.
Wenn das heißt: "Tangentengleichung ist gegeben, Graph ist gegeben, wo berührt die Tangente den Graphen - bestimmte den Punkt"
Dann ist die Aussage richtig, ja!
> 3. Der Wendepunkt der Funktion ist ein Extrempunkt der
> Ableitung?
> 4. Sagen die Nullstellen der Funktion irgendwas aus?
Ja, einfache Nullstelle ist halt eine Nullstelle.
Eine doppelte Nullstelle heißt Extremstelle.
Eine dreifache Nullstelle heißt Sattelpunkt.
Du musst das dann aber trotzdem noch mit der hinreichenden Bedingung überprüfen.
> sonst noch was?
Sag du es uns?
> Kennt jemand vielleicht eine Seite wo meine Klausurthemen
> relativ gut zusammengefasst sind?
Kommt doch drauf an, was genau dein Problem ist.
Wenn du wirklich alles verstanden hast, aber dir nur die Übung fehlt, wirds schwierig. Da hilft nur eine Suchmaschine.
Wenn du ein Thema nicht genau verstanden hast, kannst du ja hier fragen. Ich denke, wenn du eine Frage mit einem konkreten Problem hier stellst, wird dir besser geholfen als mit einer Internetseite.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hey,
danke für deine Antwort!
Definitionsbereich: Das ist doch der Bereich bzw. das Intervall indem die Funktion ist? Wie kann man den nochmal ermitteln? Also ich kenn das so, dass man schaut für welche x-Werte die Funktion 0 ergibt, und daraus kann man dann den Definitionsbereich entnehmen?
Limes: war das das, wo man negative bzw. positive x-Werte einsetzt und dann schaut ob die Funktion gegen +/- Unendlich geht? Was sagt einem das nochmal über den Graphen? Also nehmen wir an man setzt eine negative Zahl ein und es kommt was positives raus, dann würde der Graph von minus Unendlich nach plus Unendlich gehen oder wie?
Vorzeichenwechsel: daran kann man doch sehen ob es ein Hoch/Tiefpunkt ist oder? Man setzt die 1. Ableitung gleich 0 und setzt dann in diese Ableitung Werte ein die größer als der x-Wert sind und kleiner. Wenn man dann rausbekommt, dass es erst kleiner als Null wird und dann größer als Null weiß man dass es sein Hochpunkt ist und umgekehrt ein Tiefpunkt?
Achsensymmetrie: wenn nur positive Hochzahlen da sind?
Punktsymmetrie: wenn nur negative Hochzaheln da sind?
doppelte/dreifache Nullstelle: das sagt was genau aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Disap |
> Definitionsbereich: Das ist doch der Bereich bzw. das
> Intervall indem die Funktion ist?
indem die Funktion definiert ist (könnte man vielleicht so sagen)
> Wie kann man den nochmal
> ermitteln? Also ich kenn das so, dass man schaut für
> welche x-Werte die Funktion 0 ergibt, und daraus kann man
> dann den Definitionsbereich entnehmen?
Nein. Bei deinem Beispiel ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen. Aus dem Definitionsbereich werden nur Zahlen herausgenommen, für die die Funktion nicht mehr definiert ist, z. B. bei ganzrationalen Funktionen [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] . Für x kannst du nicht die 0 einsetzen, da du sonst durch 0 teilen würdest. Das ist im allgemeinen allerdings nicht definiert.
> Limes: war das das, wo man negative bzw. positive x-Werte
> einsetzt und dann schaut ob die Funktion gegen +/-
> Unendlich geht?
Ja, aber man setzt nicht wirklich Zahlenwerte ein.
> Was sagt einem das nochmal über den
> Graphen? Also nehmen wir an man setzt eine negative Zahl
> ein und es kommt was positives raus, dann würde der Graph
> von minus Unendlich nach plus Unendlich gehen oder wie?
Das würde bedeuten [mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
Also stimmt deine Vermutung.
> Vorzeichenwechsel: daran kann man doch sehen ob es ein
> Hoch/Tiefpunkt ist oder?
Ja. Oder halt ob ein Wendepunkt vorliegt oder nicht (dann aber mit der zweiten Ableitung).
> Man setzt die 1. Ableitung gleich 0
Das wäre die notwendige Bedingung. $f'(x) = 0$, um die möglichen Extremstellen zu finden.
> und setzt dann in diese Ableitung Werte ein die größer
> als der x-Wert sind und kleiner. Wenn man dann rausbekommt,
> dass es erst kleiner als Null wird und dann größer als
> Null weiß man dass es sein Hochpunkt ist und umgekehrt ein
> Tiefpunkt?
Wenn ich dich richtig verstehe, dann ja.
>
> Achsensymmetrie: wenn nur positive Hochzahlen da sind?
postive? Nein, gerade! Und eine Konstante +c darf vorkommen, z. B.
[mm] -17x^4+2,3x+107
[/mm]
> Punktsymmetrie: wenn nur negative Hochzaheln da sind?
Hier: Nur ungerade Exponenten/Hochzahlen.
> doppelte/dreifache Nullstelle: das sagt was genau aus?
doppelte entspricht Extremstelle
dreifache entspricht Sattelpunkt (hier hatte ich mich in meiner vorherigen Antwort vertan)
Bei diesem Beispiel
$f(x) = [mm] x^4-3x^2$ [/mm] hast du eine doppelte Nullstelle bei x=0. Also klammern wir mal aus
[mm] $f(x)=x^2*(x^2-3)$
[/mm]
Wenn du jetzt mit der Produktregel ableitest, siehst du
$f'(x) = [mm] x*(x^2-3)+x^2*(2x)$
[/mm]
Wie du siehst, bleibt hier ein Faktor x erhalten, du kannst wieder ausklammern
$f'(x) = [mm] x*[x^2-3+x^2*2]$
[/mm]
Also gilt auch hier füür x=0 noch f'(x) = 0
Sozusagen wird die doppelte Nullstelle dann noch auf die Ableitung mit übertragen.
Jetzt klarer?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
