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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Marianne |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe diese Frage bekommnen und da wir da wieder viel Beweisen müsssen und ich von Beweisen leider kaum Ahnung, habe ich diese heir eingestellt.:
Aufgabe 3
Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen linear sind. (Mit Beweis)
1. f : [mm] R^{2} [/mm] → [mm] R^{3} [/mm] definiert durch f(x, y) = (x + y, 2x − 3y, x),
2. f : [mm] R^{2} [/mm] → [mm] R^{2} [/mm] definiert durch f(x, y) = (x2, y2),
3. f : [mm] R^{2} [/mm] → R definiert durch f(x, y) = xy,
4. f : [mm] R^{2} [/mm] → [mm] R^{2} [/mm] definiert durch f(x, y) = (x, y + 1),
5. f : R → R definiert durch f(x) = sin(x).
Also ich würde sagen, da 5. eine normale sinus Funktion im normalen R ist, ist diese auf jeden fall nicht linear, aber Beweis bekomm ich nicht hin.
Bei den anderen hab ich leider große Probleme, ich weiß nicht irgendwann bin ich halt nicht mehr mitgekommen.
Vielleicht könnte mir jemand ein paar Ansätze geben, ich schaue mir den Stoff jetzt zuhause nochmal an, und hoffe dann mitzukommen. Aber da ich mit Beweisen sowieso überhaupt nicht klar komme, wäre ich für Ansätze dankbar.
Ich sag schonmal im vornherein Danke. :)
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Hallo Marianne!
> Ich habe diese Frage bekommnen und da wir da wieder viel
> Beweisen müsssen und ich von Beweisen leider kaum Ahnung,
> habe ich diese heir eingestellt.:
So, du solltest aber im Allgemeinen keine Angst vor Beweise haben. Ich fand es anfangs auch immer abschreckend, aber eigentlich ist es das Interessante an der Mathematik. Stell dir vor, du bekämst immer nur Zahlen zum Rechnen. Und wüsstest nie, warum du jetzt so oder so rechnen darfst...
Also: Kopf hoch - das wird schon!
> Aufgabe 3
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen linear
> sind. (Mit Beweis)
> 1. f : [mm]R^{2}[/mm] → [mm]R^{3}[/mm] definiert durch f(x, y) = (x +
> y, 2x − 3y, x),
> 2. f : [mm]R^{2}[/mm] → [mm]R^{2}[/mm] definiert durch f(x, y) = (x2,
> y2),
Sicher, dass du dich hier nicht vertippt hast? Was sollen denn [mm] x_2 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sein?
> 3. f : [mm]R^{2}[/mm] → R definiert durch f(x, y) = xy,
> 4. f : [mm]R^{2}[/mm] → [mm]R^{2}[/mm] definiert durch f(x, y) = (x, y
> + 1),
> 5. f : R → R definiert durch f(x) = sin(x).
>
> Also ich würde sagen, da 5. eine normale sinus Funktion im
> normalen R ist, ist diese auf jeden fall nicht linear, aber
> Beweis bekomm ich nicht hin.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Und die Beweise sind im Prinzip auch nicht schwierig. Vor allem kannst du in so einem Fall einfach ein Gegenbeispiel angeben - das reicht dann als Beweis. Ein ähnliches Gegenbeispiel findest du hier - damals war ich da selbst nicht drauf gekommen. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Ich denke, spätestens nach meinen weiteren Erklärungen kannst du dieses Beispiel auf deine Aufgabe übertragen.
So, nun aber zum allgemeinen Schema für diese Aufgaben:
linear bedeutet ja folgendes:
f(x+y)=f(x)+f(y)
und
f(ax)=a*f(x)
wobei hier x und y aus deinem Vektorraum (oder so) sind, und a ein Skalar ist
Diese beiden Eigenschaften musst du nun für deine einzelnen Funktionen untersuchen - ich zeige es dir mal an der dritten Aufgaben:
[mm] f(x_1,x_2)=x_1x_2
[/mm]
[mm] f(y_1,y_2)=y_1y_2
[/mm]
[mm] f((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=f((x_1+y_1,x_2+y_2))=(x_1+y_1)(x_2+y_2)=x_1x_2+x_1y_2+y_1x_2+y_1y_2
[/mm]
[mm] f(x_1,x_2)+f(y_1,y_2)=x_1x_2+y_1y_2 [/mm]
und diese beiden Ausdrücke sind in der Regel nicht gleich. Entweder gibst du nun das so an oder du suchst dir noch ein Zahlenbeispiel als Gegenbeispiel, wo du ja jetzt weißt, dass es nicht linear ist.
(Ach ja, ganz wichtig: Ein Beispiel reicht als Gegenbeispiel (wenn du also eine Aussage widerlegen sollst), aber nicht als Beweis (kann ja Zufall sein, dass du gerade Zahlen gefunden hast, für die das gilt...  ))
Wenn du nun den Fall hast, dass bei der obigen Eigenschaft beide Male das Gleiche rauskommt, musst du noch die zweite Eigenschaft zeigen, ich mache das jetzt hier auch mal:
f(a(x,y))=a*xy
a*f((x,y))=a*xy
Mmh - irgendwie vielleicht nicht so ersichtlich, wie das funktionieren soll?
Aber probier es doch erst einmal und poste dann deine Ergebnisse... Aber bitte mit Rechenweg! Und wo du nicht weiterkommst, da helfen wir dir dann. Aber ein paar Gegenbeispiele findest du doch bestimmt (sofern bei deinen Aufgabe nichtlineare dabei sind, so genau habe ich sie mir nicht angeguckt).
> Bei den anderen hab ich leider große Probleme, ich weiß
> nicht irgendwann bin ich halt nicht mehr mitgekommen.
Wie - noch mehr Aufgaben mit denen du nicht klarkommst? Na dann, versuch's doch nochmal mit uns, vielleicht können wir dir ja noch mehr helfen!
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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