Funktionalmatrix bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 18.11.2009 | | Autor: | aabbcc |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Funktionalmatrix. Seien [mm] A,B\in\IR^{nxn}[/mm] und [mm] b,c,d\in\IR^n[/mm].
(i)[mm] f: \IR^2 \to \IR^3, (x_1,x_2)\to (x_1^2+x_2,x_1x_2,e^{x_2}\ ),[/mm]
(ii)[mm]f: \IR^n \to \IR^n, x \to A(x+b)+ \left\langle c,x \right\rangle d,[/mm]
(iii)[mm]f: \IR^n \to \IR, x \to \left\langle x,Bx \right\rangle +\left\langle b-Ax,b \right\rangle ,[/mm]
(iv)[mm]f: \IR^n\ \setminus \left\{ 0 \right\} \to \IR, x \to \bruch{\left\langle x,Ax \right\rangle}{\left\langle x,x \right\rangle} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen und zu diesen Lösungen bin ich bis jetzt gekommen:
zu (i) [mm]f'(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}
2x_1 & 1 \\
x_2 & x_1 \\
0 & e^{x_2}
\end{bmatrix}[/mm]
zu (ii) [mm]f'(x)=A+ \left\langle c,d \right\rangle [/mm]
zu (iii) [mm]f'(x)=Bx + \left\langle x,B \right\rangle - \left\langle A,b\right\rangle [/mm]
zu (iv) [mm]f'(x)=\bruch{(A+A^{T})x}{\left\langle x,x \right\rangle} + \bruch{2\left\langle x,Ax \right\rangle *x^{T}}{(\left\langle x,x \right\rangle)^2}[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand seine Meinung dazu sagen würde, ob die Lösungen stimmen.
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die
> Funktionalmatrix. Seien [mm]A,B\in\IR^{nxn}[/mm] und [mm]b,c,d\in\IR^n[/mm].
>
> (i)[mm] f: \IR^2 \to \IR^3, (x_1,x_2)\to (x_1^2+x_2,x_1x_2,e^{x_2}\ ),[/mm]
>
> (ii)[mm]f: \IR^n \to \IR^n, x \to A(x+b)+ \left\langle c,x \right\rangle d,[/mm]
>
> (iii)[mm]f: \IR^n \to \IR, x \to \left\langle x,Bx \right\rangle +\left\langle b-Ax,b \right\rangle ,[/mm]
>
> (iv)[mm]f: \IR^n\ \setminus \left\{ 0 \right\} \to \IR, x \to \bruch{\left\langle x,Ax \right\rangle}{\left\langle x,x \right\rangle}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo, ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen und zu
> diesen Lösungen bin ich bis jetzt gekommen:
>
> zu (i) [mm]f'(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}
2x_1 & 1 \\
x_2 & x_1 \\
0 & e^{x_2}
\end{bmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nur solltest du nicht $f'$ schreiben.
> zu (ii) [mm]f'(x)=A+ \left\langle c,d \right\rangle[/mm]
Der erst Summand ist richtig, der zweite nicht. Das Ergebnis muss eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix sein, aber [mm] $\left\langle c,d \right\rangle$ [/mm] ist eine Zahl.
> zu (iii)
> [mm]f'(x)=Bx + \left\langle x,B \right\rangle - \left\langle A,b\right\rangle [/mm]
Hmmm, was sollen denn die spitzen Klammern bedeuten,, wenn da eine Matrix drinsteht? Schreibe es besser in Komponenten hin.
>
> zu (iv) [mm]f'(x)=\bruch{(A+A^{T})x}{\left\langle x,x \right\rangle} + \bruch{2\left\langle x,Ax \right\rangle *x^{T}}{(\left\langle x,x \right\rangle)^2}[/mm]
Da sind Zeilen- und Spaltenvektoren durcheinander geraten: der erste Summand ist eine Spalte, der zweite eine Zeile.
[mm] \left = x^TAx[/mm], daher
[mm]Df(x) = \bruch{Ax+x^TA}{\left} \red{-} \bruch{2\left\langle x,Ax \right\rangle *x}{(\left\langle x,x \right\rangle)^2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 18.11.2009 | | Autor: | aabbcc |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Wie sieht es jetzt aus? bei (ii) habe ich es an einer 3x3 Matrix ausprobiert und bin zu dieser Lösung gekommen
zu (ii) [mm]J_f(x)=A+ dc^{t}[/mm]
zu (iv) hier würde ich doch dann im ersten Summand einen Spaltenvektor zu einem Zeilenvektor addieren, oder sehe ich das falsch??
[mm]Df(x) = \bruch{Ax+x^TA}{\left} - \bruch{2\left\langle x,Ax \right\rangle *x}{(\left\langle x,x \right\rangle)^2}[/mm]
In meiner Lösung bin ich davon ausgegangen, dass das euklidische Skalarprodukt symmetrisch ist, deswegen habe ich es bei dem ersten Summand angewendet:
[mm] \bruch{\left\langle x',Ax \right\rangle + \left\langle x,(Ax)' \right\rangle}{\left}= \bruch{\left\langle x',Ax \right\rangle + \left\langle (Ax)',x \right\rangle}{\left} = \bruch{(A+A^{T})x}{\left}[/mm]
oder darf ich es hier nicht anwenden???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Wie sieht es jetzt aus? bei (ii) habe ich es an einer 3x3
> Matrix ausprobiert und bin zu dieser Lösung gekommen
>
> zu (ii) [mm]J_f(x)=A+ dc^{t}[/mm]
>
> zu (iv) hier würde ich doch dann im ersten Summand einen
> Spaltenvektor zu einem Zeilenvektor addieren, oder sehe ich
> das falsch??
Hast recht, da habe ich denselben Fehler gemacht. Tut mir leid.
> [mm]Df(x) = \bruch{Ax+x^TA}{\left} - \bruch{2\left\langle x,Ax \right\rangle *x}{(\left\langle x,x \right\rangle)^2}[/mm]
> In meiner Lösung bin ich davon ausgegangen, dass das
> euklidische Skalarprodukt symmetrisch ist, deswegen habe
> ich es bei dem ersten Summand angewendet:
> [mm]\bruch{\left\langle x',Ax \right\rangle + \left\langle x,(Ax)' \right\rangle}{\left}= \bruch{\left\langle x',Ax \right\rangle + \left\langle (Ax)',x \right\rangle}{\left} = \bruch{(A+A^{T})x}{\left}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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