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| Aufgabe | Es sei f : R ! R stetig und es gelte f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x; y 2 R. Zeigen Sie, dass dann f(x) = ax
mit a = f(1) sein muss.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f(x) = f(1)x für rationale x richtig ist.
Bemerkung: f(x + y) = f(x) + f(y) ist eine sog. Funktionalgleichung. Die Aufgabe zeigt, dass die linearen
Funktionen x 7! ax durch diese Funktionalgleichung eindeutig charakterisiert sind. |
Hallo Leute,
Ich soll beweisen, dass eine stetige Funktion f : [a,b] -> R eine
kleinste Nullstelle hat. Dabei gilt f(a) <= 0 und f(b) >= 0.
Was ich nicht verstehe ist, was bedeutet "eine kleinste Nullstelle?"
Ich habe versucht, es per Wiederspruch zu beweisen, und zwar:
(1) angenommen, f hat keine kleinere Nullstelle, dann gibt es ein
offenes Intevall I := [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2) [/mm] mit f(x) = 0 für alle x aus I; und mit
[mm] f(x_1) [/mm] != 0.
Man kann nun mit der Stetigkeit von f in [mm] x_1 [/mm] einen Wiederspruch herleiten.
Meine Frage ist nur, reicht die Falschheit von (1) zu beweisen, dass f
eine kleinste Nullstelle hat?
In andere Worte, gilt A => B mit
A: "es gibt kein offenes Intervall I := [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2) [/mm] mit f(x) = 0 für
alle x aus I; und mit [mm] f(x_1) [/mm] != 0"
B: "f hat eine kleinere Nullstelle"
?
Danke für die Aufmerksamkeit und einen schönen Sonntag für alle.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
hallo dasrobert,
sehe ich das richtig, dass dein aufgabentext nichts mit der aufgabe zu tun hat?
Ich soll beweisen, dass eine stetige Funktion f : [a,b] -> R eine
kleinste Nullstelle hat. Dabei gilt f(a) <= 0 und f(b) >= 0.
Was ich nicht verstehe ist, was bedeutet "eine kleinste Nullstelle?"
Ich habe versucht, es per Wiederspruch zu beweisen, und zwar:
kleinste nullstelle heißt für mich, dass es ein kleinstes x mit f(x) = 0 gibt. es gilt also: f(x) = 0 und für alle z < x: f(z) [mm] \not= [/mm] 0. aber warum soll das bei einer stetigen funktion existieren? f(x) = 0 ist offensichtlich stetig, aber jedes x ist nullstelle. also gibt es auch kein kleinstes.
gruß bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo dasrobert,
>
> sehe ich das richtig, dass dein aufgabentext nichts mit der
> aufgabe zu tun hat?
>
>
> Ich soll beweisen, dass eine stetige Funktion f : [a,b] ->
> R eine
> kleinste Nullstelle hat. Dabei gilt f(a) <= 0 und f(b) >=
> 0.
> Was ich nicht verstehe ist, was bedeutet "eine kleinste
> Nullstelle?"
> Ich habe versucht, es per Wiederspruch zu beweisen, und
> zwar:
>
>
> kleinste nullstelle heißt für mich, dass es ein kleinstes
> x mit f(x) = 0 gibt. es gilt also: f(x) = 0 und für alle z
> < x: f(z) [mm]\not=[/mm] 0. aber warum soll das bei einer stetigen
> funktion existieren? f(x) = 0 ist offensichtlich stetig,
> aber jedes x ist nullstelle. also gibt es auch kein
> kleinstes.
genau lesen: f ist "nur" auf [a,b] def. und stetig
FRED
>
> gruß bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f : R ! R stetig und es gelte f(x+y) = f(x)+f(y)
> für alle x; y 2 R. Zeigen Sie, dass dann f(x) = ax
> mit a = f(1) sein muss.
>
> Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f(x) = f(1)x für
> rationale x richtig ist.
>
> Bemerkung: f(x + y) = f(x) + f(y) ist eine sog.
> Funktionalgleichung. Die Aufgabe zeigt, dass die linearen
> Funktionen x 7! ax durch diese Funktionalgleichung
> eindeutig charakterisiert sind.
> Hallo Leute,
>
> Ich soll beweisen, dass eine stetige Funktion f : [a,b] ->
> R eine
> kleinste Nullstelle hat. Dabei gilt f(a) <= 0 und f(b) >=
> 0.
> Was ich nicht verstehe ist, was bedeutet "eine kleinste
> Nullstelle?"
> Ich habe versucht, es per Wiederspruch zu beweisen, und
> zwar:
>
> (1) angenommen, f hat keine kleinere Nullstelle, dann gibt
> es ein
> offenes Intevall I := [mm](x_1[/mm] , [mm]x_2)[/mm] mit f(x) = 0 für alle x
> aus I; und mit
> [mm]f(x_1)[/mm] != 0.
>
> Man kann nun mit der Stetigkeit von f in [mm]x_1[/mm] einen
> Wiederspruch herleiten.
> Meine Frage ist nur, reicht die Falschheit von (1) zu
> beweisen, dass f
> eine kleinste Nullstelle hat?
> In andere Worte, gilt A => B mit
>
> A: "es gibt kein offenes Intervall I := [mm](x_1[/mm] , [mm]x_2)[/mm] mit
> f(x) = 0 für
> alle x aus I; und mit [mm]f(x_1)[/mm] != 0"
> B: "f hat eine kleinere Nullstelle"
> ?
>
> Danke für die Aufmerksamkeit und einen schönen Sonntag
> für alle.
Fall 1: f(a)=0. Dann bist Du fertig.
Fall 2: f(a)<0. Sei [mm] M:=\{x \in [a,b]: f(x)=0 \}. [/mm] Aus dem Zwischenwertsatz folgt: M ist nicht leer.
Setze [mm] x_0:= [/mm] inf M und zeige, dass [mm] x_0 [/mm] das Gewünschte leistet.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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